$R[x]_3$は実数係数の3次以下の多項式全体からなるベクトル空間である。与えられた各$W$が$R[x]_3$の部分空間であるかどうかを判定する。部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。 (1) ゼロベクトル（零多項式）が含まれる。 (2) スカラー倍で閉じている。 (3) 和で閉じている。

1. 問題の内容

$R[x]_3$は実数係数の3次以下の多項式全体からなるベクトル空間である。与えられた各$W$が$R[x]_3$の部分空間であるかどうかを判定する。部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。

(1) ゼロベクトル（零多項式）が含まれる。

(2) スカラー倍で閉じている。

(3) 和で閉じている。

2. 解き方の手順

(a) $W = \{f(x) \in R[x]_3 | f(0) = 0, f(1) = 0\}$

(1) 零多項式$f(x) = 0$は、$f(0) = 0$かつ$f(1) = 0$を満たすので、$W$に含まれる。

(2) $f(x) \in W$とする。このとき、$f(0) = 0$かつ$f(1) = 0$である。任意の$c \in R$に対して、$cf(x)$を考えると、$cf(0) = c \cdot 0 = 0$かつ$cf(1) = c \cdot 0 = 0$なので、$cf(x) \in W$である。

(3) $f(x), g(x) \in W$とする。このとき、$f(0) = 0$かつ$f(1) = 0$であり、$g(0) = 0$かつ$g(1) = 0$である。$f(x) + g(x)$を考えると、$f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0$かつ$f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0$なので、$f(x) + g(x) \in W$である。

よって、$W$は部分空間である。

(b) $W = \{f(x) \in R[x]_3 | f(0) = 1, f(1) = 0\}$

零多項式$f(x) = 0$は、$f(0) = 0 \neq 1$なので、$W$に含まれない。

よって、$W$は部分空間ではない。

(c) $W = \{f(x) \in R[x]_3 | f(3) = 0, f(2) = 0\}$

(1) 零多項式$f(x) = 0$は、$f(3) = 0$かつ$f(2) = 0$を満たすので、$W$に含まれる。

(2) $f(x) \in W$とする。このとき、$f(3) = 0$かつ$f(2) = 0$である。任意の$c \in R$に対して、$cf(x)$を考えると、$cf(3) = c \cdot 0 = 0$かつ$cf(2) = c \cdot 0 = 0$なので、$cf(x) \in W$である。

(3) $f(x), g(x) \in W$とする。このとき、$f(3) = 0$かつ$f(2) = 0$であり、$g(3) = 0$かつ$g(2) = 0$である。$f(x) + g(x)$を考えると、$f(3) + g(3) = 0 + 0 = 0$かつ$f(2) + g(2) = 0 + 0 = 0$なので、$f(x) + g(x) \in W$である。

よって、$W$は部分空間である。

(d) $W = \{f(x) \in R[x]_3 | f(1) \leq 0, f(2) = 0\}$

零多項式$f(x) = 0$は、$f(1) = 0 \leq 0$かつ$f(2) = 0$を満たすので、$W$に含まれる。

$f(x) \in W$とすると、$f(1) \leq 0$かつ$f(2) = 0$である。

$f(x) = -x + 2$を考えると、$f(1) = -1 + 2 = 1 > 0$。 よって$f(x)$ は $W$ に含まれません。

$f(x) = -x+2, f(1)=1, f(2)=0$

$g(x) = x-2, g(1)=-1, g(2)=0$

$f(1)+g(1) = 0$.

$f(x)+g(x) = 0$.

$f(x) = x - 2$の場合、$f(1) = -1$なので、$f(x) \in W$。しかし、$(-1)f(x) = -x + 2$とすると、$(-1)f(1) = 1 > 0$なので、$(-1)f(x) \notin W$である。よって、スカラー倍で閉じていないので、$W$は部分空間ではない。

(e) $W = \{f(x) \in R[x]_3 | f(3) = 0, f(1) = 0\}$

(1) 零多項式$f(x) = 0$は、$f(3) = 0$かつ$f(1) = 0$を満たすので、$W$に含まれる。

(2) $f(x) \in W$とする。このとき、$f(3) = 0$かつ$f(1) = 0$である。任意の$c \in R$に対して、$cf(x)$を考えると、$cf(3) = c \cdot 0 = 0$かつ$cf(1) = c \cdot 0 = 0$なので、$cf(x) \in W$である。

(3) $f(x), g(x) \in W$とする。このとき、$f(3) = 0$かつ$f(1) = 0$であり、$g(3) = 0$かつ$g(1) = 0$である。$f(x) + g(x)$を考えると、$f(3) + g(3) = 0 + 0 = 0$かつ$f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0$なので、$f(x) + g(x) \in W$である。

よって、$W$は部分空間である。

(f) $W = \{f(x) \in R[x]_3 | f''(x) - 2xf'(x) = 0\}$

(1) 零多項式$f(x) = 0$を考える。$f'(x) = 0$かつ$f''(x) = 0$なので、$f''(x) - 2xf'(x) = 0 - 2x \cdot 0 = 0$を満たす。よって、$W$に零多項式が含まれる。

(2) $f(x) \in W$とすると、$f''(x) - 2xf'(x) = 0$である。任意の$c \in R$に対して、$cf(x)$を考えると、$(cf(x))'' - 2x(cf(x))' = cf''(x) - 2xcf'(x) = c(f''(x) - 2xf'(x)) = c \cdot 0 = 0$なので、$cf(x) \in W$である。

(3) $f(x), g(x) \in W$とすると、$f''(x) - 2xf'(x) = 0$かつ$g''(x) - 2xg'(x) = 0$である。$f(x) + g(x)$を考えると、$(f(x) + g(x))'' - 2x(f(x) + g(x))' = f''(x) + g''(x) - 2x(f'(x) + g'(x)) = (f''(x) - 2xf'(x)) + (g''(x) - 2xg'(x)) = 0 + 0 = 0$なので、$f(x) + g(x) \in W$である。

よって、$W$は部分空間である。

3. 最終的な答え

(a) 部分空間である。

(b) 部分空間ではない。

(c) 部分空間である。

(d) 部分空間ではない。

(e) 部分空間である。

(f) 部分空間である。