問題は、与えられた3つの行列に対して、行変形を用いて逆行列を計算することです。 (1) $ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} $ (3) $ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

問題は、与えられた3つの行列に対して、行変形を用いて逆行列を計算することです。

(1)

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 \\

1 & 2 & 1 \\

1 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

(2)

$$

\begin{pmatrix}

3 & 1 & 1 \\

1 & 3 & 1 \\

1 & 1 & 3

\end{pmatrix}

$$

(3)

$$

\begin{pmatrix}

3 & 2 & 2 \\

2 & 3 & 2 \\

2 & 2 & 3

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

各行列に対して、拡大行列を作り、行基本変形を行って左側が単位行列になるように変形します。右側に現れる行列が逆行列です。

(1)

拡大行列は

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\

1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\

1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

となります。

行基本変形を適用します。

1. 1行目を1/2倍：

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1/2 & 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\

1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\

1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

2. 2行目から1行目を引く、3行目から1行目を引く：

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1/2 & 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\

0 & 3/2 & 1/2 & -1/2 & 1 & 0 \\

0 & 1/2 & 3/2 & -1/2 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

3. 2行目を2/3倍：

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1/2 & 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 1/3 & -1/3 & 2/3 & 0 \\

0 & 1/2 & 3/2 & -1/2 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

4. 1行目から2行目の1/2倍を引く、3行目から2行目の1/2倍を引く：

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1/3 & 2/3 & -1/3 & 0 \\

0 & 1 & 1/3 & -1/3 & 2/3 & 0 \\

0 & 0 & 4/3 & -1/3 & -1/3 & 1

\end{pmatrix}

$$

5. 3行目を3/4倍：

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1/3 & 2/3 & -1/3 & 0 \\

0 & 1 & 1/3 & -1/3 & 2/3 & 0 \\

0 & 0 & 1 & -1/4 & -1/4 & 3/4

\end{pmatrix}

$$

6. 1行目から3行目の1/3倍を引く、2行目から3行目の1/3倍を引く：

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 3/4 & -1/4 & -1/4 \\

0 & 1 & 0 & -1/4 & 3/4 & -1/4 \\

0 & 0 & 1 & -1/4 & -1/4 & 3/4

\end{pmatrix}

$$

(2)

拡大行列は

$$

\begin{pmatrix}

3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\

1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\

1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

となります。

行基本変形を適用します。

(以下省略)

(3)

拡大行列は

$$

\begin{pmatrix}

3 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\

2 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\

2 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

となります。

行基本変形を適用します。

(以下省略)

3. 最終的な答え

(1)

$$

\begin{pmatrix}

3/4 & -1/4 & -1/4 \\

-1/4 & 3/4 & -1/4 \\

-1/4 & -1/4 & 3/4

\end{pmatrix}

$$

(2)

$$

\begin{pmatrix}

4/10 & -1/10 & -1/10 \\

-1/10 & 4/10 & -1/10 \\

-1/10 & -1/10 & 4/10

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

2/5 & -1/10 & -1/10 \\

-1/10 & 2/5 & -1/10 \\

-1/10 & -1/10 & 2/5

\end{pmatrix}

$$

(3)

$$

\begin{pmatrix}

5/15 & -2/15 & -2/15 \\

-2/15 & 5/15 & -2/15 \\

-2/15 & -2/15 & 5/15

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1/3 & -2/15 & -2/15 \\

-2/15 & 1/3 & -2/15 \\

-2/15 & -2/15 & 1/3

\end{pmatrix}

$$