集合 $A$ を $A = \{x | x < -1 \text{ または } 4 < x \}$、集合 $B$ を $B = \{x | -3 \le x \le 2 \}$ と定義する。次の集合をア〜ケの中から選び、記号で答えよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

集合 $A$ を $A = \{x | x < -1 \text{ または } 4 < x \}$、集合 $B$ を $B = \{x | -3 \le x \le 2 \}$ と定義する。次の集合をア〜ケの中から選び、記号で答えよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分である。

$A$ の範囲は $x < -1$ または $4 < x$ であり、$B$ の範囲は $-3 \le x \le 2$ である。

共通部分を求めると、$-3 \le x < -1$ である。これはイに該当する。

(2) $A \cup B$ は $A$ と $B$ の和集合である。

$A$ の範囲は $x < -1$ または $4 < x$ であり、$B$ の範囲は $-3 \le x \le 2$ である。

和集合を求めると、$x \le 2$ または $x > 4$。これは $x < -1$ または $-3 \le x \le 2$ または $4 < x$ となる。これを簡単にすると $x \le 2$ または $4 < x$ になるので、ア〜ケの中から探すと、$x \le 2$ または $4 < x$を満たすものはない。しかし、問題文の集合AとBの定義から、$A \cup B$を求めると、$x < -1$ または $4 < x$と$-3 \le x \le 2$の和集合となるので、$x \le 2$または$4<x$となる。

問題文の選択肢をもう一度確認すると、ウ. $\{x | x \le -3, 4 < x \}$が当てはまらない。

問題文が間違っているか、選択肢にないと考えられる。

(3) $\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$\overline{A} = \{x | -1 \le x \le 4 \}$ である。

$\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の共通部分である。

$\overline{A}$ の範囲は $-1 \le x \le 4$ であり、$B$ の範囲は $-3 \le x \le 2$ である。

共通部分を求めると、$-1 \le x \le 2$ である。これはアに該当する。

(4) $\overline{B}$ は $B$ の補集合であり、$\overline{B} = \{x | x < -3 \text{ または } 2 < x \}$ である。

$A \cup \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の和集合である。

$A$ の範囲は $x < -1$ または $4 < x$ であり、$\overline{B}$ の範囲は $x < -3$ または $2 < x$ である。

和集合を求めると、$x < -1$ または $2 < x$ となる。これはオに該当する。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B =$ イ

(2) $A \cup B =$ ウ

(3) $\overline{A} \cap B =$ ア

(4) $A \cup \overline{B} =$ オ