2次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の $0 \le x \le 2a$ ($a \ge 0$) における最大値を求めよ。場合分けをして、$0 \le a \le \text{ア}$ のときと $\text{ア} < a$ のときで答えを記述する。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の $0 \le x \le 2a$ ($a \ge 0$) における最大値を求めよ。場合分けをして、$0 \le a \le \text{ア}$ のときと $\text{ア} < a$ のときで答えを記述する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$

これは、頂点が $(2, 1)$ の下に凸の放物線である。

次に、定義域 $0 \le x \le 2a$ と軸 $x = 2$ の位置関係によって場合分けする。

(1) $0 \le a \le 1$ のとき ($2a \le 2$)

このとき、定義域は $0 \le x \le 2a \le 2$ となるので、定義域内で $x$ が最も小さいとき、すなわち $x = 0$ で最大値をとる。

$y = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$

(2) $1 < a$ のとき ($2 < 2a$)

このとき、定義域は $0 \le x \le 2a$ であり、軸 $x = 2$ が定義域に含まれる。定義域の端点である $x = 0$ と $x = 2a$ での $y$ の値を比較する。

$x = 0$ のとき $y = 5$

$x = 2a$ のとき $y = (2a)^2 - 4(2a) + 5 = 4a^2 - 8a + 5$

$4a^2 - 8a + 5 - 5 = 4a^2 - 8a = 4a(a - 2)$

$a > 1$ であり、$4a(a - 2) > 0$ なので、$4a^2 - 8a + 5 > 5$

したがって、$x = 2a$ で最大値をとる。

まとめる:

$0 \le a \le 1$ のとき、最大値は $5$

$1 < a$ のとき、最大値は $4a^2 - 8a + 5$

3. 最終的な答え

ア：1

イ：5

ウ：4

エ：8

オ：5