数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$ かつ $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ であるとき、$a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$ かつ $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ であるとき、$a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2a_n}{3^{n+1}} + \frac{3^n}{3^{n+1}}$$

$$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}$$

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、

$$b_{n+1} = \frac{2}{3} b_n + \frac{1}{3}$$

これは等差数列に帰着できる。

$$b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3} (b_n - 1)$$

数列 $\{b_n - 1\}$ は、初項 $b_1 - 1 = \frac{a_1}{3^1} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列である。

したがって、

$$b_n - 1 = \left(-\frac{2}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = -\frac{2}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = -2 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \frac{1}{3} = -2 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \left(\frac{1}{3}\right)^1 = -2\cdot\frac{2^{n-1}}{3^n}$$

$$b_n = 1 - 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \frac{1}{3} = 1 - \frac{2^n}{3^n}$$

よって、

$$b_n = 1 - \frac{2^n}{3^n} = \frac{3^n - 2^n}{3^n}$$

$$a_n = 3^n b_n = 3^n \left( 1 - \frac{2^n}{3^n}\right) = 3^n - 2^n$$

3. 最終的な答え

$a_n = 3^n - 2^n$