(1) 2次方程式 $x^2 + ax - 4a = 0$ の解の1つが2であるとき、$a$ の値ともう1つの解を求めなさい。 (2) 2次方程式 $x^2 - 4x + a = 0$ の解の1つが $2 + 3\sqrt{5}$ であるとき、$a$ の値ともう1つの解を求めなさい。 (3) 2次方程式 $x^2 - 8x - 20 = 0$ の小さいほうの解が、2次方程式 $x^2 + ax - a + 8 = 0$ の解の1つになっている。$a$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + ax - 4a = 0$ の解の1つが2であるとき、$a$ の値ともう1つの解を求めなさい。

(2) 2次方程式 $x^2 - 4x + a = 0$ の解の1つが $2 + 3\sqrt{5}$ であるとき、$a$ の値ともう1つの解を求めなさい。

(3) 2次方程式 $x^2 - 8x - 20 = 0$ の小さいほうの解が、2次方程式 $x^2 + ax - a + 8 = 0$ の解の1つになっている。$a$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

$x=2$ を $x^2 + ax - 4a = 0$ に代入すると、

$2^2 + 2a - 4a = 0$

$4 - 2a = 0$

$2a = 4$

$a = 2$

したがって、$x^2 + 2x - 8 = 0$ となる。

因数分解すると、$(x+4)(x-2) = 0$

よって、もう1つの解は $x = -4$

(2)

$x = 2 + 3\sqrt{5}$ を $x^2 - 4x + a = 0$ に代入すると、

$(2 + 3\sqrt{5})^2 - 4(2 + 3\sqrt{5}) + a = 0$

$(4 + 12\sqrt{5} + 45) - (8 + 12\sqrt{5}) + a = 0$

$49 + 12\sqrt{5} - 8 - 12\sqrt{5} + a = 0$

$41 + a = 0$

$a = -41$

したがって、$x^2 - 4x - 41 = 0$ となる。

解の公式より、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-41)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 164}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{180}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 \cdot 5}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 6\sqrt{5}}{2}$

$x = 2 \pm 3\sqrt{5}$

よって、もう1つの解は $2 - 3\sqrt{5}$

(3)

$x^2 - 8x - 20 = 0$ を因数分解すると、$(x-10)(x+2) = 0$

よって、$x = 10, -2$

小さいほうの解は $x = -2$

$x = -2$ を $x^2 + ax - a + 8 = 0$ に代入すると、

$(-2)^2 + a(-2) - a + 8 = 0$

$4 - 2a - a + 8 = 0$

$12 - 3a = 0$

$3a = 12$

$a = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a$ の値: 2, もう1つの解: -4

(2) $a$ の値: -41, もう1つの解: $2 - 3\sqrt{5}$

(3) $a$ の値: 4