2次関数 $y = x^2 + 2px + 3p^2 - 4p - 6$ について、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) グラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような実数 $p$ の値の範囲を求める。 (2) グラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さが4となるような $p$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2px + 3p^2 - 4p - 6$ について、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) グラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような実数 $p$ の値の範囲を求める。

(2) グラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さが4となるような $p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフが $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ であることです。判別式を計算します。

$D = (2p)^2 - 4(3p^2 - 4p - 6)$

$D = 4p^2 - 12p^2 + 16p + 24$

$D = -8p^2 + 16p + 24$

$D > 0$ より

$-8p^2 + 16p + 24 > 0$

$p^2 - 2p - 3 < 0$

$(p - 3)(p + 1) < 0$

$-1 < p < 3$

したがって、アイは-1、ウは3です。

(2) グラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さが4となる条件を考えます。$x$軸との交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)とすると、$\beta - \alpha = 4$です。

解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -2p$

$\alpha \beta = 3p^2 - 4p - 6$

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$

$4^2 = (-2p)^2 - 4(3p^2 - 4p - 6)$

$16 = 4p^2 - 12p^2 + 16p + 24$

$0 = -8p^2 + 16p + 8$

$0 = p^2 - 2p - 1$

$p = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)}}{2}$

$p = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$

$p = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$p = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、エは1、オは2です。

3. 最終的な答え

アイ：-1

ウ：3

エ：1

オ：2

$p = 1 \pm \sqrt{2}$