実数を係数とする2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 正の解と負の解をもつ。 (2) 異なる2つの負の解をもつ。

1. 問題の内容

実数を係数とする2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 正の解と負の解をもつ。

(2) 異なる2つの負の解をもつ。

2. 解き方の手順

(1) 正の解と負の解をもつ場合

2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とします。

解と係数の関係より、$\alpha \beta = a + 6$ です。

正の解と負の解を持つためには、$\alpha \beta < 0$ であればよいので、

$a + 6 < 0$

$a < -6$

(2) 異なる2つの負の解をもつ場合

2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ が異なる2つの負の解をもつための条件は、

i) 判別式 $D > 0$

ii) 解の和 $\alpha + \beta < 0$

iii) 解の積 $\alpha \beta > 0$

の3つをすべて満たすことです。

i) 判別式 $D = (-2a)^2 - 4(a + 6) = 4a^2 - 4a - 24 = 4(a^2 - a - 6) > 0$

$a^2 - a - 6 > 0$

$(a - 3)(a + 2) > 0$

$a < -2$ または $a > 3$

ii) 解の和 $\alpha + \beta = 2a < 0$

$a < 0$

iii) 解の積 $\alpha \beta = a + 6 > 0$

$a > -6$

i), ii), iii) をすべて満たす $a$ の範囲は、

$-6 < a < -2$

3. 最終的な答え

(1) $a < -6$

(2) $-6 < a < -2$