与えられた2次式を平方完成させる問題です。具体的には、以下の8つの式を平方完成させます。 (1) $x^2 + 8x$ (2) $x^2 - 4x$ (3) $x^2 + 6x + 8$ (4) $x^2 - 8x + 10$ (5) $x^2 + 5x$ (6) $x^2 - x + 1$ (7) $x^2 + x - 2$ (8) $x^2 - 7x + 12$

1. 問題の内容

与えられた2次式を平方完成させる問題です。具体的には、以下の8つの式を平方完成させます。

(1) $x^2 + 8x$

(2) $x^2 - 4x$

(3) $x^2 + 6x + 8$

(4) $x^2 - 8x + 10$

(5) $x^2 + 5x$

(6) $x^2 - x + 1$

(7) $x^2 + x - 2$

(8) $x^2 - 7x + 12$

2. 解き方の手順

平方完成は、$ax^2 + bx + c$ の形の2次式を $a(x + p)^2 + q$ の形に変形することです。

この問題を解くための一般的な手順は以下の通りです。

(1) $x^2 + 8x$

$x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 4^2 = (x + 4)^2 - 16$

(2) $x^2 - 4x$

$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - (-2)^2 = (x - 2)^2 - 4$

(3) $x^2 + 6x + 8$

$x^2 + 6x + 8 = (x + 3)^2 - 3^2 + 8 = (x + 3)^2 - 9 + 8 = (x + 3)^2 - 1$

(4) $x^2 - 8x + 10$

$x^2 - 8x + 10 = (x - 4)^2 - (-4)^2 + 10 = (x - 4)^2 - 16 + 10 = (x - 4)^2 - 6$

(5) $x^2 + 5x$

$x^2 + 5x = (x + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$

(6) $x^2 - x + 1$

$x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2})^2 + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

(7) $x^2 + x - 2$

$x^2 + x - 2 = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 - 2 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(8) $x^2 - 7x + 12$

$x^2 - 7x + 12 = (x - \frac{7}{2})^2 - (-\frac{7}{2})^2 + 12 = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + 12 = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4} = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 4)^2 - 16$

(2) $(x - 2)^2 - 4$

(3) $(x + 3)^2 - 1$

(4) $(x - 4)^2 - 6$

(5) $(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$

(6) $(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

(7) $(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

(8) $(x - \frac{7}{2})^2 - \frac{1}{4}$