$A$ が $m \times n$ 行列であるとき、行列 $\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}$ の $k$ 乗 $\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^k$ を求める。ここで、$E_m$ は $m$ 次の単位行列、$E_n$ は $n$ 次の単位行列、$O$ はゼロ行列を表す。

1. 問題の内容

$A$ が $m \times n$ 行列であるとき、行列 $\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}$ の $k$ 乗 $\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^k$ を求める。ここで、$E_m$ は $m$ 次の単位行列、$E_n$ は $n$ 次の単位行列、$O$ はゼロ行列を表す。

2. 解き方の手順

まず、$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}$ の2乗を計算してみる。

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\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m E_m + A O & E_m A + A E_n \\ O E_m + E_n O & O A + E_n E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & A + A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & 2A \\ O & E_n \end{bmatrix}

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次に、3乗を計算してみる。

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\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^2 \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & 2A \\ O & E_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m E_m + 2A O & E_m A + 2A E_n \\ O E_m + E_n O & O A + E_n E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & A + 2A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & 3A \\ O & E_n \end{bmatrix}

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これらの計算から、$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^k = \begin{bmatrix} E_m & kA \\ O & E_n \end{bmatrix}$ と推測できる。

これを数学的帰納法で証明する。

(1) $k=1$ のとき、$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^1 = \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}$ となり、成り立つ。

(2) $k=n$ のとき、$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} E_m & nA \\ O & E_n \end{bmatrix}$ が成り立つと仮定する。

(3) $k=n+1$ のとき、

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\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^{n+1} = \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & nA \\ O & E_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m E_m + nA O & E_m A + nA E_n \\ O E_m + E_n O & O A + E_n E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & A + nA \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & (n+1)A \\ O & E_n \end{bmatrix}

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したがって、$k=n+1$ のときも成り立つ。

よって、数学的帰納法により、$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^k = \begin{bmatrix} E_m & kA \\ O & E_n \end{bmatrix}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

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\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^k = \begin{bmatrix} E_m & kA \\ O & E_n \end{bmatrix}

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