同じ大きさの黒と白の正方形タイルを規則正しく並べて図形を作ります。 (1) 6番目の図形に使われる黒と白のタイルの枚数を求めます。 (2) $n$番目の図形に使われる黒タイルの枚数を、$n$を用いて表します。 (3) 黒タイルが白タイルより300枚多く使われるのは何番目の図形か、またその図形に使われる黒タイルの枚数を求めます。

1. 問題の内容

同じ大きさの黒と白の正方形タイルを規則正しく並べて図形を作ります。

(1) 6番目の図形に使われる黒と白のタイルの枚数を求めます。

(2) $n$番目の図形に使われる黒タイルの枚数を、$n$を用いて表します。

(3) 黒タイルが白タイルより300枚多く使われるのは何番目の図形か、またその図形に使われる黒タイルの枚数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 黒タイルの枚数は、1番目から順に10, 16, 22, 28...と6ずつ増えているので、等差数列です。

一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で求められます。$a_1 = 10$, $d = 6$ なので、$a_n = 10 + (n-1)6 = 6n + 4$ です。

6番目の黒タイルの枚数は、$6 \times 6 + 4 = 40$ 枚です。

白タイルの枚数は、1番目から順に2, 4, 6, 8...と2ずつ増えているので、等差数列です。

一般項は $b_n = b_1 + (n-1)d$ で求められます。$b_1 = 2$, $d = 2$ なので、$b_n = 2 + (n-1)2 = 2n$ です。

6番目の白タイルの枚数は、$2 \times 6 = 12$ 枚です。

(2) (1)より、$n$番目の黒タイルの枚数は、$6n + 4$ です。

(3) 黒タイルの枚数が白タイルの枚数より300枚多いとき、$6n + 4 = 2n + 300$ となります。

$4n = 296$

$n = 74$

つまり、74番目の図形において、黒タイルが白タイルより300枚多く使われています。

このとき使われる黒タイルの枚数は、$6 \times 74 + 4 = 444 + 4 = 448$ 枚です。

3. 最終的な答え

(1) 黒: 40枚、白: 12枚

(2) $6n + 4$

(3) 74番目、448枚