$\sqrt{8-\sqrt{60}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{8-\sqrt{60}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを目指します。$\sqrt{a} - \sqrt{b}$の形に変形できると仮定します。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$より、$a+b = 8$ かつ $4ab = 60$、つまり $ab = 15$となるような$a, b$を探します。

$a+b = 8$と$ab = 15$を満たす$a, b$は、$a, b$を解とする二次方程式

$x^2 - 8x + 15 = 0$

の解として求めることができます。

$(x-3)(x-5) = 0$より、$x = 3, 5$です。

したがって、$a = 5, b = 3$または$a = 3, b = 5$となります。

$\sqrt{8-\sqrt{60}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}$もしくは$\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$と表すことができます。ここで$\sqrt{5} > \sqrt{3}$なので、$\sqrt{5}-\sqrt{3} > 0$、 $\sqrt{3}-\sqrt{5} < 0$です。

$\sqrt{8-\sqrt{60}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} - \sqrt{3}$