3人でじゃんけんをする。各人はグー、チョキ、パーを同じ確率で出す。あいこの場合はもう一度じゃんけんをする。2人が勝った場合は、その2人でじゃんけんをする。 (1) 1回目のじゃんけんで勝者が1人に決まる確率を求めよ。 (2) 3回目のじゃんけんをしても、3人があいこになる確率を求めよ。 (3) ちょうど3回目で勝者が1人に決まる確率を求めよ。

1. 問題の内容

3人でじゃんけんをする。各人はグー、チョキ、パーを同じ確率で出す。あいこの場合はもう一度じゃんけんをする。2人が勝った場合は、その2人でじゃんけんをする。

(1) 1回目のじゃんけんで勝者が1人に決まる確率を求めよ。

(2) 3回目のじゃんけんをしても、3人があいこになる確率を求めよ。

(3) ちょうど3回目で勝者が1人に決まる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで勝者が1人に決まる確率

3人が出す手の組み合わせは $3^3 = 27$ 通り。

1人が勝つ場合は、残りの2人が同じ手を出す必要がある。

勝つ手の選び方が3通り（グー、チョキ、パー）、負ける手の選び方が3通り。

したがって、1人が勝つ手の組み合わせは $3 \times 3 = 9$ 通り。

よって、確率は $9/27 = 1/3$。

(2) 3回目のじゃんけんをしても3人があいこになる確率

1回のじゃんけんであいこになる確率は、3人とも同じ手を出すか、3人とも違う手を出す場合。

3人とも同じ手を出すのは3通り（グー、チョキ、パー）。

3人とも違う手を出すのは $3! = 6$ 通り。

よって、あいこになるのは $3 + 6 = 9$ 通り。

したがって、あいこになる確率は $9/27 = 1/3$。

3回連続であいこになる確率は $(1/3)^3 = 1/27$。

(3) ちょうど3回目で勝者が1人に決まる確率

1回目と2回目があいこで、3回目に勝者が1人に決まる確率を求める。

1回目があいこになる確率は $1/3$。

2回目があいこになる確率は $1/3$。

3回目に勝者が1人に決まる確率は $1/3$。

したがって、求める確率は $(1/3) \times (1/3) \times (1/3) = 1/27$。

3. 最終的な答え

(1) $1/3$

(2) $1/27$

(3) $1/27$