4種類の缶ジュース（りんご、みかん、ぶどう、メロン）がそれぞれたくさんある。この中から6本を選ぶ。 (1) 選ばない種類があってもよい場合、選び方は何通りか。 (2) いずれの種類も少なくとも1本は選ぶ場合、選び方は何通りか。

## 問題8

1. 問題の内容

4種類の缶ジュース（りんご、みかん、ぶどう、メロン）がそれぞれたくさんある。この中から6本を選ぶ。

(1) 選ばない種類があってもよい場合、選び方は何通りか。

(2) いずれの種類も少なくとも1本は選ぶ場合、選び方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 選ばない種類があってもよい場合

これは重複組合せの問題です。4種類の缶ジュースから重複を許して6本選ぶ場合の数を求めます。

重複組合せの公式は、n種類の物からr個選ぶとき、${}_{n+r-1}C_r$で計算できます。

この問題では、$n=4$, $r=6$なので、${}_{4+6-1}C_6 = {}_{9}C_6$を計算します。

${}_{9}C_6 = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

(2) いずれの種類も少なくとも1本は選ぶ場合

まず、4種類の缶ジュースをそれぞれ1本ずつ選びます。すると、残り2本を選ぶことになります。

この残りの2本を4種類の缶ジュースから重複を許して選ぶ場合の数を求めます。

これは再び重複組合せの問題で、$n=4$, $r=2$なので、${}_{4+2-1}C_2 = {}_{5}C_2$を計算します。

${}_{5}C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

3. 最終的な答え

(1) 84通り

(2) 10通り

## 問題9

1. 問題の内容

5人がA, B, Cの3部屋に入る。

(1) 空室があってもよい場合、入り方は何通りあるか。

(2) 空室を作らない場合、入り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 空室があってもよい場合

それぞれの人がどの部屋に入るかを考えます。各人はA, B, Cの3つの部屋のいずれかに入る選択肢があるので、5人それぞれについて3通りの選択肢があります。

したがって、$3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5$ を計算します。

$3^5 = 243$

(2) 空室を作らない場合

まず、5人をいくつかのグループに分けます。空室を作らないためには、以下の3つの場合に分ける必要があります。

a. (3人, 1人, 1人)に分ける場合

b. (2人, 2人, 1人)に分ける場合

a. (3人, 1人, 1人)に分ける場合

5人から3人を選ぶ方法は ${}_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

残りの2人から1人を選ぶ方法は ${}_{2}C_1 = 2$通り。

残りの1人は自動的に最後のグループになります。

ただし、1人のグループは区別しないので、$\frac{1}{2!}$で割る必要があります。

グループ分けの方法は $10 \times 2 \times \frac{1}{2!} = 10$通り。

それぞれのグループをA, B, Cの部屋に入れる方法は $3! = 6$通り。

したがって、$10 \times 6 = 60$通り。

b. (2人, 2人, 1人)に分ける場合

5人から2人を選ぶ方法は ${}_{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

残りの3人から2人を選ぶ方法は ${}_{3}C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

残りの1人は自動的に最後のグループになります。

ただし、2人のグループは区別しないので、$\frac{1}{2!}$で割る必要があります。

グループ分けの方法は $10 \times 3 \times \frac{1}{2!} = 15$通り。

それぞれのグループをA, B, Cの部屋に入れる方法は $3! = 6$通り。

したがって、$15 \times 6 = 90$通り。

aとbの場合を足し合わせると、$60 + 90 = 150$通り。

3. 最終的な答え

(1) 243通り

(2) 150通り