問題文は、商品Xと商品Yの1週間の売上個数のデータが与えられており、それらの分散、標準偏差、共分散、相関係数について、さらに土曜日のデータが追加された場合の変動について考察する問題です。

1. 問題の内容

問題文は、商品Xと商品Yの1週間の売上個数のデータが与えられており、それらの分散、標準偏差、共分散、相関係数について、さらに土曜日のデータが追加された場合の変動について考察する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数を求める。

相関係数 $r$ は、共分散をそれぞれの標準偏差の積で割ったものとして定義されます。

$r = \frac{\text{共分散}}{\text{Xの標準偏差} \times \text{Yの標準偏差}}$

表2から、Xの標準偏差は1.4、Yの標準偏差は2.8、共分散は2.8です。したがって、

$r = \frac{2.8}{1.4 \times 2.8} = \frac{1}{1.4} \approx 0.714$

最も近い値は0.7です。

(2) 土曜日のデータを追加したときの変化について考える。

(i) 土曜日のデータの偏差を求める。

Xの平均は14なので、Xの偏差は$14-14=0$です。

Yの平均は16なので、Yの偏差は$16-16=0$です。

したがって、土曜日のデータの偏差はxもyも0です。

(ii) 土曜日のデータを追加すると、xの偏差の2乗の和とyの偏差の2乗の和は変化しないか考える。

x, yの偏差の2乗の和は、もともとデータであった月〜金の偏差の二乗の和で計算されています。土曜日のデータの偏差が0であることから、土曜日のデータを追加しても偏差の二乗の和は変化しません。

標準偏差について考える。

標準偏差は分散の平方根で求められ、分散は偏差の二乗の和をデータ数で割ったものです。

土曜日のデータ（x,y）を追加しても、xの偏差の2乗の和とyの偏差の2乗の和は変化しません。

ただし、データの総数が増えます（5から6に）。そのため、分散は小さくなり、標準偏差も小さくなります。

$x, y$の共分散について考える。共分散は、それぞれの偏差の積の平均です。土曜日のデータx,yともに偏差が0であることから、データの追加によって共分散は変化しません。

(iii) 土曜日を除く5日間のデータの相関係数を$U$、土曜日を含めた6日間のデータの相関係数を$V$とすると、$U$と$V$の関係について考える。

共分散が変化せず、$x, y$の標準偏差が減少することから、相関係数の式$r = \frac{\text{共分散}}{\text{Xの標準偏差} \times \text{Yの標準偏差}}$ より、Vの値は大きくなります。したがって、$U < V$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

ア: ②

イ: ②

ウ: ②

エ: ①

オ: ②

カ: ②