兄と弟がお金を出し合って6000円のサッカーボールを買った。兄は所持金の$\frac{1}{2}$、弟は所持金の$\frac{1}{3}$を出した。代金を支払った後、残った所持金を比べたところ、兄の金額は弟の金額の2倍であった。はじめに持っていた兄と弟の金額をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

兄と弟がお金を出し合って6000円のサッカーボールを買った。兄は所持金の$\frac{1}{2}$、弟は所持金の$\frac{1}{3}$を出した。代金を支払った後、残った所持金を比べたところ、兄の金額は弟の金額の2倍であった。はじめに持っていた兄と弟の金額をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

はじめに兄が持っていた金額を$x$円、弟が持っていた金額を$y$円とする。

まず、代金の支払いに関する式を立てる。

兄が支払った金額は$\frac{1}{2}x$円、弟が支払った金額は$\frac{1}{3}y$円なので、

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 6000$

次に、代金を支払った後の残金に関する式を立てる。

兄の残金は$x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$円、弟の残金は$y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y$円である。

問題文より、兄の残金は弟の残金の2倍なので、

$\frac{1}{2}x = 2 \times \frac{2}{3}y$

$\frac{1}{2}x = \frac{4}{3}y$

したがって、以下の連立方程式が得られる。

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 6000$

$\frac{1}{2}x = \frac{4}{3}y$

この連立方程式を解く。

2つ目の式から$\frac{1}{2}x$を1つ目の式に代入すると、

$\frac{4}{3}y + \frac{1}{3}y = 6000$

$\frac{5}{3}y = 6000$

$y = 6000 \times \frac{3}{5} = 1200 \times 3 = 3600$

$y = 3600$

これを$\frac{1}{2}x = \frac{4}{3}y$に代入すると、

$\frac{1}{2}x = \frac{4}{3} \times 3600$

$\frac{1}{2}x = 4 \times 1200 = 4800$

$x = 4800 \times 2 = 9600$

$x = 9600$

したがって、兄がはじめに持っていた金額は9600円、弟がはじめに持っていた金額は3600円である。

3. 最終的な答え

兄の金額は 9600 円、弟の金額は 3600 円である。