$\alpha$ が鋭角で、$\sin{\alpha} = \frac{4}{5}$ のとき、以下の値を求める問題です。 (1) $\sin{\frac{\alpha}{2}}$ (2) $\cos{\frac{\alpha}{2}}$ (3) $\tan{\frac{\alpha}{2}}$

1. 問題の内容

$\alpha$ が鋭角で、$\sin{\alpha} = \frac{4}{5}$ のとき、以下の値を求める問題です。

(1) $\sin{\frac{\alpha}{2}}$

(2) $\cos{\frac{\alpha}{2}}$

(3) $\tan{\frac{\alpha}{2}}$

2. 解き方の手順

まず、$\cos{\alpha}$ の値を求めます。$\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ より、

$\cos^2{\alpha} = 1 - \sin^2{\alpha} = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\alpha$ は鋭角なので、$\cos{\alpha} > 0$。したがって、

$\cos{\alpha} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

次に、半角の公式を利用します。

(1) $\sin{\frac{\alpha}{2}}$ について

$\sin^2{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \cos{\alpha}}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5}$

$\frac{\alpha}{2}$ も鋭角なので、$\sin{\frac{\alpha}{2}} > 0$。したがって、

$\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $\cos{\frac{\alpha}{2}}$ について

$\cos^2{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 + \cos{\alpha}}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5}$

$\frac{\alpha}{2}$ も鋭角なので、$\cos{\frac{\alpha}{2}} > 0$。したがって、

$\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) $\tan{\frac{\alpha}{2}}$ について

$\tan{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$

または、

$\tan{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $\cos{\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) $\tan{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{2}$