以下の3つの不定積分を計算します。 * $\int \sin^{-1}x \, dx$ * $\int \cos^{-1}x \, dx$ * $\int \tan^{-1}x \, dx$

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を計算します。

* $\int \sin^{-1}x \, dx$

* $\int \cos^{-1}x \, dx$

* $\int \tan^{-1}x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin^{-1}x \, dx$ の計算

部分積分を用いて計算します。

$u = \sin^{-1}x$, $dv = dx$ とすると, $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$, $v = x$ となります。

したがって,

$\int \sin^{-1}x \, dx = x \sin^{-1}x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算します。 $t = 1-x^2$ と置換すると, $dt = -2x \, dx$ なので, $x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt$ となります。

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{t}} \, dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} \, dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

よって,

$\int \sin^{-1}x \, dx = x \sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int \cos^{-1}x \, dx$ の計算

部分積分を用いて計算します。

$u = \cos^{-1}x$, $dv = dx$ とすると, $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$, $v = x$ となります。

したがって,

$\int \cos^{-1}x \, dx = x \cos^{-1}x - \int \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = x \cos^{-1}x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

(1) で $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\sqrt{1-x^2} + C$ を求めたので,

$\int \cos^{-1}x \, dx = x \cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2} + C$

(3) $\int \tan^{-1}x \, dx$ の計算

部分積分を用いて計算します。

$u = \tan^{-1}x$, $dv = dx$ とすると, $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$, $v = x$ となります。

したがって,

$\int \tan^{-1}x \, dx = x \tan^{-1}x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx$

$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx$ を計算します。 $t = 1+x^2$ と置換すると, $dt = 2x \, dx$ なので, $x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$ となります。

$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \int \frac{\frac{1}{2}}{t} \, dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

よって,

$\int \tan^{-1}x \, dx = x \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

3. 最終的な答え

* $\int \sin^{-1}x \, dx = x \sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C$

* $\int \cos^{-1}x \, dx = x \cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2} + C$

* $\int \tan^{-1}x \, dx = x \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$