与えられた三角関数の式を、$r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r>0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ を満たす必要があります。具体的には、以下の3つの式について、それぞれ変形を行います。 (1) $-\sin\theta + \cos\theta$ (2) $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ (3) $\sqrt{3}\sin\theta + 3\cos\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を、$r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r>0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ を満たす必要があります。具体的には、以下の3つの式について、それぞれ変形を行います。

(1) $-\sin\theta + \cos\theta$

(2) $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$

(3) $\sqrt{3}\sin\theta + 3\cos\theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta+\alpha)$ を利用します。

ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos\alpha = \frac{a}{r}$、$\sin\alpha = \frac{b}{r}$ を満たす $\alpha$ を求めます。

(1) $-\sin\theta + \cos\theta$ の場合:

$a = -1$, $b = 1$ なので、$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ です。

$\cos\alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{3\pi}{4}$ です。

したがって、$-\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{3\pi}{4})$ となります。

(2) $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ の場合:

$a = 1$, $b = -\sqrt{3}$ なので、$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ です。

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$, $\sin\alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ となります。

(3) $\sqrt{3}\sin\theta + 3\cos\theta$ の場合:

$a = \sqrt{3}$, $b = 3$ なので、$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ です。

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$, $\sin\alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$\sqrt{3}\sin\theta + 3\cos\theta = 2\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{3\pi}{4})$

(2) $2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

(3) $2\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$