2つの1次関数 $y = ax + b$ ($a > 0$) と $y = -x + 3$ について、$x$ の変域が $2 \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域が同じになる。このとき、$a, b$ の組 $(a, b)$ を選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

2つの1次関数 $y = ax + b$ ($a > 0$) と $y = -x + 3$ について、$x$ の変域が $2 \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域が同じになる。このとき、$a, b$ の組 $(a, b)$ を選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x + 3$ の $x$ の変域が $2 \le x \le 4$ のときの $y$ の変域を求めます。

$x = 2$ のとき、$y = -2 + 3 = 1$

$x = 4$ のとき、$y = -4 + 3 = -1$

したがって、$y = -x + 3$ の $y$ の変域は $-1 \le y \le 1$ となります。

次に、$y = ax + b$ について考えます。$a > 0$ なので、$y = ax + b$ は単調増加の関数です。

$x$ の変域が $2 \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域が $-1 \le y \le 1$ になるためには、

$x = 2$ のとき $y = -1$

$x = 4$ のとき $y = 1$

となる必要があります。

したがって、以下の2つの式が成り立ちます。

$2a + b = -1$

$4a + b = 1$

この連立方程式を解きます。

$4a + b = 1$ から $2a + b = -1$ を引くと、

$2a = 2$

$a = 1$

$2a + b = -1$ に $a = 1$ を代入すると、

$2(1) + b = -1$

$2 + b = -1$

$b = -3$

したがって、$a = 1$、$b = -3$ となります。

3. 最終的な答え

$(a, b) = (1, -3)$

選択肢の3が正解です。