2次関数 $y = x^2 - 4x + 2a + 1$ の最小値が5となるような、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4x + 2a + 1$ の最小値が5となるような、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 2a + 1$

$y = (x^2 - 4x) + 2a + 1$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 2a + 1$

$y = (x - 2)^2 + 2a - 3$

平方完成された式から、この2次関数の頂点の座標は $(2, 2a-3)$ であることがわかります。

$x^2$の係数が正であるため、グラフは下に凸の放物線であり、頂点の$y$座標が最小値となります。

問題文より、最小値が5なので、

$2a - 3 = 5$

これを$a$について解きます。

$2a = 5 + 3$

$2a = 8$

$a = 4$

3. 最終的な答え

$a = 4$