複素数$\alpha$、$\beta$について、$\alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha} \beta$ が純虚数であることを証明する。ただし、$\alpha \overline{\beta}$は実数でないとする。

1. 問題の内容

複素数$\alpha$、$\beta$について、$\alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha} \beta$ が純虚数であることを証明する。ただし、$\alpha \overline{\beta}$は実数でないとする。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ が純虚数であるためには、$\overline{z} = -z$ が成り立つ必要があります。

そこで、$z = \alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha} \beta$ とおき、$\overline{z} = -z$ を示すことを目標とします。

まず、$\overline{z}$ を計算します。

$\overline{z} = \overline{\alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha} \beta}$

共役複素数の性質 $\overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2}$ および $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \overline{z_2}$ を用いると、

$\overline{z} = \overline{\alpha \overline{\beta}} - \overline{\overline{\alpha} \beta}$

$\overline{z} = \overline{\alpha} \overline{\overline{\beta}} - \overline{\overline{\alpha}} \overline{\beta}$

複素数 $z$ の共役複素数の共役複素数は元の複素数に戻る（$\overline{\overline{z}} = z$）ので、

$\overline{z} = \overline{\alpha} \beta - \alpha \overline{\beta}$

$\overline{z} = -(\alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha} \beta)$

$\overline{z} = -z$

したがって、$z = \alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha} \beta$ は純虚数です。

ただし、$\alpha \overline{\beta}$ が実数でないことから、$z \neq 0$ です。もし $\alpha \overline{\beta}$ が実数であるならば、$\alpha \overline{\beta} = \overline{\alpha \overline{\beta}} = \overline{\alpha} \beta$ となり、$z=0$ となってしまいます。

3. 最終的な答え

$\alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha} \beta$ は純虚数である。