数列 $\{a_n\}$ の第1項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = \frac{7}{6}(a_n - 1)$ を満たすとき、以下の問いに答える。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$, $\log_{10}7 = 0.8451$ とする。 (1) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) $a_n$ が89桁の整数となるとき、$n$ を求めよ。 (3) $n$ を (2) で求めたものとする。$a_n$ の1の位の数字を求めよ。 (4) $n$ を (2) で求めたものとする。$a_n$ の最高位の数字を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の第1項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = \frac{7}{6}(a_n - 1)$ を満たすとき、以下の問いに答える。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$, $\log_{10}7 = 0.8451$ とする。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) $a_n$ が89桁の整数となるとき、$n$ を求めよ。

(3) $n$ を (2) で求めたものとする。$a_n$ の1の位の数字を求めよ。

(4) $n$ を (2) で求めたものとする。$a_n$ の最高位の数字を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

$S_n = \frac{7}{6}(a_n - 1)$

$S_{n-1} = \frac{7}{6}(a_{n-1} - 1)$ (n >= 2)

$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{7}{6}(a_n - 1) - \frac{7}{6}(a_{n-1} - 1) = \frac{7}{6}(a_n - a_{n-1})$

$6a_n = 7a_n - 7a_{n-1}$

$a_n = 7a_{n-1}$

これは等比数列である。初項 $a_1$ を求める。

$S_1 = a_1 = \frac{7}{6}(a_1 - 1)$

$6a_1 = 7a_1 - 7$

$a_1 = 7$

したがって、$a_n = 7 \cdot 7^{n-1} = 7^n$

(2) $a_n$ が89桁の整数となるとき、$n$ を求める。

$a_n = 7^n$ が89桁であるから

$10^{88} \le 7^n < 10^{89}$

両辺の常用対数をとると

$88 \le n\log_{10}7 < 89$

$88 \le 0.8451n < 89$

$\frac{88}{0.8451} \le n < \frac{89}{0.8451}$

$104.13 \le n < 105.31$

$n$ は整数であるから、$n = 105$

(3) $a_n$ の1の位の数字を求める。

$a_n = 7^n$

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$

$7^3 = 343$

$7^4 = 2401$

$7^5 = 16807$

1の位は 7, 9, 3, 1 の繰り返しとなる。

$n = 105$ であるから、$105 \equiv 1 \pmod{4}$

よって、1の位は 7

(4) $a_n$ の最高位の数字を求める。

$a_n = 7^n = 7^{105}$

$\log_{10}a_n = \log_{10}7^{105} = 105\log_{10}7 = 105 \times 0.8451 = 88.7355$

$a_n = 10^{88.7355} = 10^{88} \times 10^{0.7355}$

$10^{0.7355} = x$ とすると、$\log_{10}x = 0.7355$

$\log_{10}5 = \log_{10}\frac{10}{2} = 1 - \log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$\log_{10}6 = \log_{10}(2 \times 3) = \log_{10}2 + \log_{10}3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

$0.6990 < 0.7355 < 0.7781$

$5 < x < 6$

より詳しく考えると、$10^{0.7355} \approx 5.44$ であるので、最高位の数字は 5

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 7^n$

(2) $n = 105$

(3) 7

(4) 5