数列$\{a_n\}$が漸化式 $a_1 = 3$, $a_{k+1} = \frac{a_k}{a_k + 2}$ ($k = 1, 2, 3, ...$) で定義されているとき、$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$ であることを数学的帰納法で証明する。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が漸化式 $a_1 = 3$, $a_{k+1} = \frac{a_k}{a_k + 2}$ ($k = 1, 2, 3, ...$) で定義されているとき、$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$ であることを数学的帰納法で証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$ のとき

$a_1 = 3$ であり、$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$ に $n = 1$ を代入すると、

$\frac{3}{2^{1+1} - 3} = \frac{3}{2^2 - 3} = \frac{3}{4 - 3} = \frac{3}{1} = 3$

となり、$a_1 = 3$ と一致するので、$n = 1$ のとき、$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$ は成り立つ。

(2) $n = k$ のとき、$a_k = \frac{3}{2^{k+1} - 3}$ が成り立つと仮定する。

(3) $n = k + 1$ のとき、$a_{k+1} = \frac{3}{2^{(k+1)+1} - 3} = \frac{3}{2^{k+2} - 3}$ が成り立つことを示す。

漸化式より、$a_{k+1} = \frac{a_k}{a_k + 2}$ である。

仮定より、$a_k = \frac{3}{2^{k+1} - 3}$ なので、

$a_{k+1} = \frac{\frac{3}{2^{k+1} - 3}}{\frac{3}{2^{k+1} - 3} + 2}$

$a_{k+1} = \frac{\frac{3}{2^{k+1} - 3}}{\frac{3 + 2(2^{k+1} - 3)}{2^{k+1} - 3}}$

$a_{k+1} = \frac{3}{3 + 2(2^{k+1} - 3)}$

$a_{k+1} = \frac{3}{3 + 2^{k+2} - 6}$

$a_{k+1} = \frac{3}{2^{k+2} - 3}$

これは、$a_{k+1} = \frac{3}{2^{(k+1)+1} - 3}$ に一致する。

したがって、$n = k + 1$ のときも、$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$ は成り立つ。

(1), (2), (3) より、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$ が成り立つ。