次の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。 (1) 初項が4、公比が2の場合 (2) 初項が-2、公比が1の場合

1. 問題の内容

次の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

(1) 初項が4、公比が2の場合

(2) 初項が-2、公比が1の場合

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使います。初項を $a$、公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$r \neq 1$ のとき

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$r = 1$ のとき

$S_n = na$

で与えられます。

(1) 初項 $a=4$、公比 $r=2$ の場合

$r \neq 1$ なので、上記の公式を使用します。

$S_n = \frac{4(1-2^n)}{1-2} = \frac{4(1-2^n)}{-1} = -4(1-2^n) = 4(2^n - 1)$

(2) 初項 $a=-2$、公比 $r=1$ の場合

$r = 1$ なので、$S_n = na$ を使用します。

$S_n = n(-2) = -2n$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = 4(2^n - 1)$

(2) $S_n = -2n$