初項が3、公比が2、末項が96である等比数列の和 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

初項が3、公比が2、末項が96である等比数列の和 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の一般項を求めます。一般項 $a_n$ は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、

$a_n = a \cdot r^{n-1}$

で表されます。

この問題では、$a = 3$、$r = 2$ なので、$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ となります。

末項が96なので、

$3 \cdot 2^{n-1} = 96$

$2^{n-1} = 32$

$2^{n-1} = 2^5$

したがって、$n-1 = 5$ となり、$n = 6$ です。つまり、この等比数列は6項からなることがわかります。

次に、等比数列の和の公式を使います。初項 $a$、公比 $r$、項数 $n$ の等比数列の和 $S$ は、

$S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

で表されます。

この問題では、$a = 3$、$r = 2$、$n = 6$ なので、

$S = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1}$

$S = \frac{3(64 - 1)}{1}$

$S = 3 \cdot 63$

$S = 189$

3. 最終的な答え

189