不等式 $|x| + |x - 4| < 3x$ を解き、$x > \frac{タ}{チ}$ の形式で答えよ。

1. 問題の内容

不等式 $|x| + |x - 4| < 3x$ を解き、$x > \frac{タ}{チ}$ の形式で答えよ。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けを行う。

(1) $x < 0$ のとき

$|x| = -x$, $|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4$ なので、不等式は

$-x - x + 4 < 3x$

$-2x + 4 < 3x$

$4 < 5x$

$x > \frac{4}{5}$

しかし、$x < 0$ と $x > \frac{4}{5}$ を同時に満たす $x$ は存在しないので、この場合は解なし。

(2) $0 \le x < 4$ のとき

$|x| = x$, $|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4$ なので、不等式は

$x - x + 4 < 3x$

$4 < 3x$

$x > \frac{4}{3}$

$0 \le x < 4$ と $x > \frac{4}{3}$ を同時に満たす $x$ の範囲は、$\frac{4}{3} < x < 4$

(3) $x \ge 4$ のとき

$|x| = x$, $|x - 4| = x - 4$ なので、不等式は

$x + x - 4 < 3x$

$2x - 4 < 3x$

$-4 < x$

$x > -4$

$x \ge 4$ と $x > -4$ を同時に満たす $x$ の範囲は、$x \ge 4$

(2)と(3)の結果を合わせると、$\frac{4}{3} < x < 4$ または $x \ge 4$ となり、これは $x > \frac{4}{3}$ と同値。

3. 最終的な答え

$x > \frac{4}{3}$