問題は、与えられた漸化式と初期条件を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 4^n$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 3n - 1$

1. 問題の内容

問題は、与えられた漸化式と初期条件を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 4^n$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 3n - 1$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた漸化式 $a_{n+1} - a_n = 4^n$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{4^n\}$ であることがわかります。

$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k = 1 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4 - 1} = 1 + \frac{4}{3}(4^{n-1} - 1) = 1 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{4^n - 1}{3}$$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{4^1 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ となり、与えられた条件を満たします。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = \frac{4^n - 1}{3}$ が成り立ちます。

(2)

与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{3n - 1\}$ であることがわかります。

$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1) = 1 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + 3\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - n + 1 = 2 + \frac{3n^2 - 3n - 2n}{2} = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3(1)^2 - 5(1) + 4}{2} = \frac{3 - 5 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、与えられた条件を満たします。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{4^n - 1}{3}$

(2) $a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$