(1) 実数 $x, y$ について、$xy > 0$ であることは、$x + y > 0$ であるための何条件か。 (2) 実数 $a, b, c$ について、$a < b$ であることは、$a + c < b + c$ であるための何条件か。 (3) 自然数 $m, n$ について、$m$ または $n$ が $4$ の倍数であることは、$mn$ が $4$ の倍数であるための何条件か。

1. 問題の内容

(1) 実数 $x, y$ について、$xy > 0$ であることは、$x + y > 0$ であるための何条件か。

(2) 実数 $a, b, c$ について、$a < b$ であることは、$a + c < b + c$ であるための何条件か。

(3) 自然数 $m, n$ について、$m$ または $n$ が $4$ の倍数であることは、$mn$ が $4$ の倍数であるための何条件か。

2. 解き方の手順

(1)

$xy > 0$ は、$x$ と $y$ が同符号であることを意味する。つまり、$x > 0$ かつ $y > 0$ または $x < 0$ かつ $y < 0$ である。

$x > 0$ かつ $y > 0$ ならば $x + y > 0$ である。しかし、$x < 0$ かつ $y < 0$ ならば $x + y < 0$ である。

したがって、$xy > 0$ は $x + y > 0$ であるための十分条件ではない。

逆に、$x + y > 0$ であれば、$xy > 0$ とは限らない。例えば、$x = 2, y = -1$ のとき、$x + y = 1 > 0$ だが、$xy = -2 < 0$ である。

したがって、$xy > 0$ は $x + y > 0$ であるための必要条件でもない。

したがって、必要条件でも十分条件でもない。

(2)

$a < b$ ならば、$a + c < b + c$ である。これは、不等式の両辺に同じ数を足しても不等号の向きは変わらないことから明らかである。

逆に、$a + c < b + c$ ならば、$a < b$ である。これは、$a + c < b + c$ の両辺から $c$ を引けば $a < b$ となる。

したがって、$a < b$ であることは、$a + c < b + c$ であるための必要十分条件である。

(3)

$m$ または $n$ が $4$ の倍数ならば、$mn$ は $4$ の倍数である。

なぜなら、$m = 4k$ (または $n = 4k$) ならば $mn = 4kn$ (または $mn = 4km$) となり、$mn$ は $4$ の倍数となる。

逆に、$mn$ が $4$ の倍数ならば、$m$ または $n$ が $4$ の倍数とは限らない。例えば、$m = 2, n = 2$ のとき、$mn = 4$ だが、$m$ も $n$ も $4$ の倍数ではない。

したがって、$m$ または $n$ が $4$ の倍数であることは、$mn$ が $4$ の倍数であるための十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) (エ)

(2) (ウ)

(3) (イ)