ベクトル $\vec{a} = (k, -1)$ と $\vec{b} = (3, 2-k)$ が与えられている。 (1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるときの $k$ の値を求める。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるときの $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (k, -1)$ と $\vec{b} = (3, 2-k)$ が与えられている。

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるときの $k$ の値を求める。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるときの $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、ある実数 $t$ が存在して $\vec{a} = t\vec{b}$ となる。

よって、

$(k, -1) = t(3, 2-k)$

$k = 3t$

$-1 = t(2-k)$

$t = -1/(2-k)$

$k = 3(-1/(2-k))$

$k(2-k) = -3$

$2k - k^2 = -3$

$k^2 - 2k - 3 = 0$

$(k-3)(k+1) = 0$

$k = 3, -1$

$k = 3$ のとき、$\vec{b} = (3, -1)$。$\vec{a} = (3, -1)$ なので $\vec{a} = \vec{b}$ となり平行。

$k = -1$ のとき、$\vec{b} = (3, 3)$。$\vec{a} = (-1, -1)$ なので $\vec{a} = -\frac{1}{3}\vec{b}$ となり平行。

したがって、$k = 3, -1$.

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ となる。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = k(3) + (-1)(2-k) = 0$

$3k - 2 + k = 0$

$4k = 2$

$k = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $k = 3, -1$

(2) $k = \frac{1}{2}$