数列 $1, 4x, 7x^2, 10x^3, 13x^4, \dots$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) この数列の一般項 $a_n$ を求めます。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $1, 4x, 7x^2, 10x^3, 13x^4, \dots$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

数列の各項を観察すると、係数は $1, 4, 7, 10, 13, \dots$ となっており、これは初項1、公差3の等差数列です。

この等差数列の第 $n$ 項は $1 + (n-1) \times 3 = 3n - 2$ となります。

また、$x$ の指数は $0, 1, 2, 3, 4, \dots$ となっており、$n-1$ となります。

したがって、数列の一般項 $a_n$ は次のようになります。

$$a_n = (3n-2)x^{n-1}$$

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (3k-2)x^{k-1}$ を計算します。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k-2)x^{k-1} = 3\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1} - 2\sum_{k=1}^{n} x^{k-1}$$

ここで、$T_n = \sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}$ と $U_n = \sum_{k=1}^{n} x^{k-1}$ について考えます。

$U_n$ は初項1、公比 $x$ の等比数列の和であるから、

$$U_n = \frac{1-x^n}{1-x}$$

また、

$T_n = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + nx^{n-1}$

$xT_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^{n}$

辺々引くと、

$(1-x)T_n = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} - nx^n = \frac{1-x^n}{1-x} - nx^n$

したがって、

$$T_n = \frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{nx^n}{1-x}$$

これらを用いると、

$$S_n = 3T_n - 2U_n = 3\left(\frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{nx^n}{1-x}\right) - 2\frac{1-x^n}{1-x}$$

$$S_n = \frac{3(1-x^n)}{(1-x)^2} - \frac{3nx^n}{1-x} - \frac{2(1-x^n)(1-x)}{(1-x)^2}$$

$$S_n = \frac{3 - 3x^n - 3nx^n(1-x) - 2(1-x^n)(1-x)}{(1-x)^2}$$

$$S_n = \frac{3 - 3x^n - 3nx^n + 3nx^{n+1} - 2(1-x-x^n+x^{n+1})}{(1-x)^2}$$

$$S_n = \frac{3 - 3x^n - 3nx^n + 3nx^{n+1} - 2 + 2x + 2x^n - 2x^{n+1}}{(1-x)^2}$$

$$S_n = \frac{1 + 2x - x^n - 3nx^n + 3nx^{n+1} - 2x^{n+1}}{(1-x)^2}$$

$$S_n = \frac{1 + 2x - x^n - 3nx^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = (3n-2)x^{n-1}$

(2) $S_n = \frac{1 + 2x - x^n - 3nx^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$