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$S = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 5\cdot2^2 + \dots + (2n-1)\cdot2^{n-1}$ を求める問題です。

代数学数列等差数列等比数列和
2025/6/8
## (1)の問題

1. 問題の内容

S=1⋅1+3⋅2+5⋅22+⋯+(2n−1)⋅2n−1S = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 5\cdot2^2 + \dots + (2n-1)\cdot2^{n-1} を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の和は、等差数列と等比数列の積の形になっています。このような数列の和を求める際には、S-rSを計算します。ここでrは等比数列の公比です。
S=1⋅1+3⋅2+5⋅22+⋯+(2n−1)⋅2n−1S = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 5\cdot2^2 + \dots + (2n-1)\cdot2^{n-1}
両辺に2をかけると、
2S=1⋅2+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n2S = 1\cdot2 + 3\cdot2^2 + 5\cdot2^3 + \dots + (2n-3)\cdot2^{n-1} + (2n-1)\cdot2^{n}
したがって
S−2S=1⋅1+(3−1)⋅2+(5−3)⋅22+⋯+(2n−1−(2n−3))⋅2n−1−(2n−1)⋅2nS - 2S = 1\cdot1 + (3-1)\cdot2 + (5-3)\cdot2^2 + \dots + (2n-1-(2n-3))\cdot2^{n-1} - (2n-1)\cdot2^{n}
−S=1+2⋅2+2⋅22+⋯+2⋅2n−1−(2n−1)⋅2n-S = 1 + 2\cdot2 + 2\cdot2^2 + \dots + 2\cdot2^{n-1} - (2n-1)\cdot2^{n}
−S=1+2(2+22+⋯+2n−1)−(2n−1)⋅2n-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1)\cdot2^{n}
2+22+⋯+2n−12 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} は初項2, 公比2, 項数n-1の等比数列の和なので、
2+22+⋯+2n−1=2(2n−1−1)2−1=2n−22 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^n - 2
したがって、
−S=1+2(2n−2)−(2n−1)⋅2n-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1)\cdot2^{n}
−S=1+2n+1−4−(2n−1)⋅2n-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1)\cdot2^{n}
−S=−3+2n+1−(2n−1)⋅2n-S = -3 + 2^{n+1} - (2n-1)\cdot2^{n}
−S=−3+2n+1−2n⋅2n+2n-S = -3 + 2^{n+1} - 2n\cdot2^{n} + 2^{n}
−S=−3+2⋅2n−2n⋅2n+2n-S = -3 + 2\cdot2^{n} - 2n\cdot2^{n} + 2^{n}
−S=−3+3⋅2n−2n⋅2n-S = -3 + 3\cdot2^{n} - 2n\cdot2^{n}
−S=−3+(3−2n)⋅2n-S = -3 + (3-2n)\cdot2^{n}
S=3+(2n−3)⋅2nS = 3 + (2n-3)\cdot2^{n}

3. 最終的な答え

S=(2n−3)2n+3S = (2n-3)2^n + 3
## (2)の問題

1. 問題の内容

S=1+4x+7x2+⋯+(3n−2)xn−1S = 1 + 4x + 7x^2 + \dots + (3n-2)x^{n-1} を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の和も、等差数列と等比数列の積の形になっています。同様にS-xSを計算します。
S=1+4x+7x2+⋯+(3n−2)xn−1S = 1 + 4x + 7x^2 + \dots + (3n-2)x^{n-1}
両辺にxをかけると、
xS=x+4x2+7x3+⋯+(3n−5)xn−1+(3n−2)xnxS = x + 4x^2 + 7x^3 + \dots + (3n-5)x^{n-1} + (3n-2)x^{n}
したがって
S−xS=1+(4−1)x+(7−4)x2+⋯+(3n−2−(3n−5))xn−1−(3n−2)xnS - xS = 1 + (4-1)x + (7-4)x^2 + \dots + (3n-2-(3n-5))x^{n-1} - (3n-2)x^{n}
(1−x)S=1+3x+3x2+⋯+3xn−1−(3n−2)xn(1-x)S = 1 + 3x + 3x^2 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^{n}
(1−x)S=1+3(x+x2+⋯+xn−1)−(3n−2)xn(1-x)S = 1 + 3(x + x^2 + \dots + x^{n-1}) - (3n-2)x^{n}
x+x2+⋯+xn−1x + x^2 + \dots + x^{n-1} は初項x, 公比x, 項数n-1の等比数列の和なので、
x+x2+⋯+xn−1=x(xn−1−1)x−1=xn−xx−1x + x^2 + \dots + x^{n-1} = \frac{x(x^{n-1}-1)}{x-1} = \frac{x^n - x}{x-1}
したがって、
(1−x)S=1+3(xn−xx−1)−(3n−2)xn(1-x)S = 1 + 3(\frac{x^n - x}{x-1}) - (3n-2)x^{n}
(1−x)S=1+3xn−3xx−1−(3n−2)xn(1-x)S = 1 + \frac{3x^n - 3x}{x-1} - (3n-2)x^{n}
(1−x)S=x−1+3xn−3x−(3n−2)xn(x−1)x−1(1-x)S = \frac{x-1 + 3x^n - 3x - (3n-2)x^{n}(x-1)}{x-1}
(1−x)S=−2x−1+3xn−(3n−2)xn+1+(3n−2)xnx−1(1-x)S = \frac{-2x-1 + 3x^n - (3n-2)x^{n+1} + (3n-2)x^{n}}{x-1}
(1−x)S=−2x−1+3xn−(3n−2)xn+1+(3n−2)xnx−1(1-x)S = \frac{-2x-1 + 3x^n - (3n-2)x^{n+1} + (3n-2)x^{n}}{x-1}
S=−2x−1+3xn−(3n−2)xn+1+(3n−2)xn(x−1)(1−x)S = \frac{-2x-1 + 3x^n - (3n-2)x^{n+1} + (3n-2)x^{n}}{(x-1)(1-x)}
S=−2x−1+(3n+1)xn−(3n−2)xn+1(x−1)(1−x)S = \frac{-2x-1 + (3n+1)x^n - (3n-2)x^{n+1}}{(x-1)(1-x)}
S=1+(3n+1)xn−(3n−2)xn+1−2x(1−x)2S = \frac{1+ (3n+1)x^n - (3n-2)x^{n+1} - 2x}{(1-x)^2}

3. 最終的な答え

S=(3n−2)xn+1−(3n+1)xn+2x+1(x−1)2S = \frac{(3n-2)x^{n+1}-(3n+1)x^n+2x+1}{(x-1)^2}

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