$2x^2 + 5xy + 3y^2 + 3x + 4y + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$2x^2 + 5xy + 3y^2 + 3x + 4y + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5y+3)x + (3y^2 + 4y + 1)$

次に、定数項である $3y^2 + 4y + 1$ を因数分解します。

$3y^2 + 4y + 1 = (3y+1)(y+1)$

与式は、

$2x^2 + (5y+3)x + (3y+1)(y+1)$

これを因数分解することを考えます。

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になると仮定し、展開すると、

$2x^2 + (a+2c)xy + acy^2 + (b+2d)x + (ad+bc)y + bd$

これと $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 3x + 4y + 1$ を比較すると、

$a+2c = 5$

$ac = 3$

$b+2d = 3$

$ad+bc = 4$

$bd = 1$

$3y^2 + 4y + 1 = (3y+1)(y+1)$ という情報から、

$a = 3$, $c = 1$, $b = 1$, $d = 1$ と推測できます。

実際、当てはめてみると、

$a+2c = 3+2(1) = 5$

$ac = 3(1) = 3$

$b+2d = 1+2(1) = 3$

$ad+bc = 3(1)+1(1) = 4$

$bd = 1(1) = 1$

となり、全て満たしています。

したがって、因数分解の結果は $(2x + 3y + 1)(x + y + 1)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x + 3y + 1)(x + y + 1)$