与えられた問題は、次の和を計算することです。 $\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1)$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の和を計算することです。

$\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1)$

2. 解き方の手順

まず、和を分割します。

$\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1) = \sum_{i=1}^{n} i^2 + \sum_{i=1}^{n} 3i + \sum_{i=1}^{n} 1$

次に、各和を計算します。

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^{n} 3i = 3\sum_{i=1}^{n} i = 3\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^{n} 1 = n$

これらの結果を元の式に代入します。

$\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$

共通因子 $n$ をくくり出す。

$n(\frac{(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3(n+1)}{2} + 1)$

分母を6に統一します。

$n(\frac{(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{9(n+1)}{6} + \frac{6}{6})$

$n(\frac{(n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 6}{6})$

分子を展開します。

$n(\frac{2n^2+3n+1 + 9n+9 + 6}{6})$

分子を整理します。

$n(\frac{2n^2+12n+16}{6})$

分子を2で割ります。

$n(\frac{n^2+6n+8}{3})$

分子を因数分解します。

$n(\frac{(n+2)(n+4)}{3})$

最終的な式は次のようになります。

$\frac{n(n+2)(n+4)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+2)(n+4)}{3}$