与えられた6つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

## 回答

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。

* $x^2$の係数が正のとき、下に凸なグラフになり、最小値を持ちます。

* $x^2$の係数が負のとき、上に凸なグラフになり、最大値を持ちます。

頂点の$y$座標が、最大値または最小値となります。

(1) $y = x^2 - 6x + 5$

$y = (x - 3)^2 - 9 + 5$

$y = (x - 3)^2 - 4$

頂点の座標は $(3, -4)$。

$x^2$の係数が正なので、最小値は $-4$。最大値はなし。

(2) $y = 2x^2 + 4x - 1$

$y = 2(x^2 + 2x) - 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 3$

頂点の座標は $(-1, -3)$。

$x^2$の係数が正なので、最小値は $-3$。最大値はなし。

(3) $y = -x^2 - 4x + 2$

$y = -(x^2 + 4x) + 2$

$y = -(x + 2)^2 + 4 + 2$

$y = -(x + 2)^2 + 6$

頂点の座標は $(-2, 6)$。

$x^2$の係数が負なので、最大値は $6$。最小値はなし。

(4) $y = -2x^2 + 8x$

$y = -2(x^2 - 4x)$

$y = -2(x - 2)^2 + 8$

頂点の座標は $(2, 8)$。

$x^2$の係数が負なので、最大値は $8$。最小値はなし。

(5) $y = x^2 + 3x + 1$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$

頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$。

$x^2$の係数が正なので、最小値は $-\frac{5}{4}$。最大値はなし。

(6) $y = -2x^2 + 5x$

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x)$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + 2 \cdot \frac{25}{16}$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8}$

頂点の座標は $(\frac{5}{4}, \frac{25}{8})$。

$x^2$の係数が負なので、最大値は $\frac{25}{8}$。最小値はなし。

3. 最終的な答え

(1) 最小値：-4, 最大値：なし

(2) 最小値：-3, 最大値：なし

(3) 最大値：6, 最小値：なし

(4) 最大値：8, 最小値：なし

(5) 最小値：$-\frac{5}{4}$, 最大値：なし

(6) 最大値：$\frac{25}{8}$, 最小値：なし