$a$ を $2$ より大きい定数とする。全体集合 $U$ を実数全体とし、部分集合 $A, B$ をそれぞれ $A = \{x | 2 \le x \le a\}, B = \{x | 4 < x < 7\}$ とする。$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表す。 (1) $A \cap B = \emptyset$ となる $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) $A \cap B$ がただ1つの整数を含む $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) $\overline{A} \subset \overline{B}$ となる $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を $2$ より大きい定数とする。全体集合 $U$ を実数全体とし、部分集合 $A, B$ をそれぞれ $A = \{x | 2 \le x \le a\}, B = \{x | 4 < x < 7\}$ とする。$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表す。

(1) $A \cap B = \emptyset$ となる $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $A \cap B$ がただ1つの整数を含む $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) $\overline{A} \subset \overline{B}$ となる $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B = \emptyset$ となる条件を考える。

$A = \{x | 2 \le x \le a\}$ であり、$B = \{x | 4 < x < 7\}$ である。

$A \cap B = \emptyset$ となるためには、$a \le 4$ である必要がある。

$a > 2$ であるから、$2 < a \le 4$ となる。

(2) $A \cap B$ がただ1つの整数を含む $a$ の値の範囲を求める。

$A \cap B = \{x | 4 < x \le a\}$ であるから、$A \cap B$ に含まれる整数は $5, 6, \dots$ となる。

$A \cap B$ がただ1つの整数を含むためには、

$A \cap B = \{x | 4 < x \le a\} = \{5\}$ または $A \cap B = \{6\}$ となれば良い。

$A \cap B = \{5\}$ となるためには、$5 \le a < 6$ である。

$A \cap B$ が $5$ のみを含むとき、$5 \le a < 6$ である。

$A \cap B$ が $6$ のみを含むとき、$6 \le a < 7$ である。

$A \cap B$ がただ1つの整数を含むためには、$5 \le a < 6$ または $6 \le a < 7$ となれば良い。

したがって、$5 \le a < 6$ または $6 \le a < 7$ より、$5 \le a < 7$

(3) $\overline{A} \subset \overline{B}$ となる $a$ の値の範囲を求める。

$\overline{A} \subset \overline{B}$ は $B \subset A$ と同値である。

$B \subset A$ より、$B = \{x | 4 < x < 7\} \subset A = \{x | 2 \le x \le a\}$ となるためには、$7 \le a$ となれば良い。

3. 最終的な答え

(1) $2 < a \le 4$

(2) $5 \le a < 7$

(3) $7 \le a$