ある会社が県内でカフェを20店舗運営している。過去のデータから、1店舗あたりの売り上げと店舗数が増加した場合の売り上げ減少がわかっている。この情報をもとに、新規に店舗を増やした場合の全体の売り上げ総額を計算し、最大となる売り上げ総額とその際の店舗数を求める。

1. 問題の内容

ある会社が県内でカフェを20店舗運営している。過去のデータから、1店舗あたりの売り上げと店舗数が増加した場合の売り上げ減少がわかっている。この情報をもとに、新規に店舗を増やした場合の全体の売り上げ総額を計算し、最大となる売り上げ総額とその際の店舗数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 新規に3店舗増やす場合

- 店舗数は $20 + 3 = 23$ 店舗となる。

- 1店舗あたりの売り上げは $40 - 3 = 37$ 百万円となる。

- 全体の売り上げ総額は $23 \times 37$ 百万円となる。

したがって、

ア = 3

イ = 3

ウエオ = $23 \times 37 = 851$

(2) 新規に $x$ 店舗増やす場合

- 店舗数は $20 + x$ 店舗となる。

- 1店舗あたりの売り上げは $40 - x$ 百万円となる。

- 全体の売り上げ総額 $y$ は $(20 + x)(40 - x)$ 百万円となる。

$y = (20+x)(40-x) = -x^2 + 20x + 800$

$y$ を最大にする $x$ を求めるために、平方完成を行う。

$y = -(x^2 - 20x) + 800 = -(x^2 - 20x + 100 - 100) + 800 = -(x-10)^2 + 100 + 800 = -(x-10)^2 + 900$

$x$ は39以下の自然数であるので、$y$を最大にする$x$の値は$x=10$。したがって、

カ = 20

キ = 800

ク = 10

このとき、最大となる売り上げ総額は

ケ = 900

3. 最終的な答え

(1)

ア = 3

イ = 3

ウエオ = 851

(2)

カ = 20

キ = 800

ク = 10

ケ = 900