与えられた数式の値を計算する問題です。数式は次の通りです。 $(1 + \sqrt{6})^2 - \frac{\sqrt{8 + 10\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は次の通りです。

$(1 + \sqrt{6})^2 - \frac{\sqrt{8 + 10\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

まず、$(1 + \sqrt{6})^2$ を展開します。

$(1 + \sqrt{6})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 = 7 + 2\sqrt{6}$

次に、$\frac{\sqrt{8 + 10\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ を計算します。 まず、$8 + 10\sqrt{3}$ を簡略化することを考えます。$8 + 10\sqrt{3}$ は $(a + b\sqrt{3})^2$ の形になる可能性があります。

$(a + b\sqrt{3})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 = (a^2 + 3b^2) + (2ab)\sqrt{3}$

したがって、$a^2 + 3b^2 = 8$ と $2ab = 10$ を満たす $a$ と $b$ を探します。 $ab = 5$ なので、$a = \frac{5}{b}$ を $a^2 + 3b^2 = 8$ に代入します。

$(\frac{5}{b})^2 + 3b^2 = 8$

$\frac{25}{b^2} + 3b^2 = 8$

$25 + 3b^4 = 8b^2$

$3b^4 - 8b^2 + 25 = 0$　（解なし）

$8+10\sqrt{3}=2(4+5\sqrt{3})$

次に、$\frac{\sqrt{8 + 10\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8 + 10\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{4 + 5\sqrt{3}}$

$4 + 5\sqrt{3}$ を $(a + b\sqrt{3})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3}$ の形に変形することは難しいです。

別の方法で、$\sqrt{8 + 10\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2 \cdot 5\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2 \sqrt{75}} = \sqrt{(a+b)^2 - 2ab}$

$= \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab}= \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{75}} = \sqrt{5+3}=8, =5\sqrt{3}2ab=10\sqrt{3}$

そこで、式全体を考えます。

$(1 + \sqrt{6})^2 - \frac{\sqrt{8 + 10\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = 7 + 2\sqrt{6} - \sqrt{4 + 5\sqrt{3}}$

$8 + 10\sqrt{3} = 8 + \sqrt{300}$

$\sqrt{8+10\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{75}}$

$\sqrt{8+2\sqrt{75}} = \sqrt{(5+3)+2\sqrt{5*15}} = \sqrt{(5+3)}+sqrt{5+3}=\sqrt{5}+sqrt{3}$

$\sqrt{8 + 10\sqrt{3}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}^2$

$\frac{\sqrt{8 + 10\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8 + 10\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{4 + 5\sqrt{3}}$

$1 + \sqrt{6} = 1 + 2.45 = 3.45$

$(1 + \sqrt{6})^2 = 1 + 6 + 2\sqrt{6} = 7 + 2\sqrt{6} = 7 + 2(2.449...) = 7 + 4.898... = 11.898...$

$\sqrt{4 + 5\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 5*1.732} = \sqrt{4 + 8.66} = \sqrt{12.66} = 3.558...$

$11.898 - 3.558 = 8.34$

最終的な答えは、$7 + 2\sqrt{6} - \sqrt{4 + 5\sqrt{3}}$。

$\frac{\sqrt{8+10\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2(4+5\sqrt{3})}}{\sqrt{2}} = \sqrt{4+5\sqrt{3}}$

$7 + 2\sqrt{6} - \sqrt{4 + 5\sqrt{3}}$

与えられた数式は

$(1+\sqrt{6})^2 - \frac{\sqrt{8+10\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = 7+2\sqrt{6}-\sqrt{4+5\sqrt{3}}$

$\sqrt{4+5\sqrt{3}}=3.5581$

$2\sqrt{6} = 4.8989$

$7 + 2\sqrt{6}-\sqrt{4+5\sqrt{3}} = 7+4.8989-3.5581 = 8.3408$

$\sqrt{8+10\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{25\cdot3}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{75}} = \sqrt{(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2}$

$\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{8+10\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

$(1+\sqrt{6})^2 = 1 + 6 + 2\sqrt{6} = 7+2\sqrt{6}$

$7+2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2} = 7+2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}$

$= 7+2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} = 7 + \frac{3}{2}\sqrt{6} - \frac{\sqrt{10}}{2}$

$= 7+1.5*\sqrt{6} - 0.5\sqrt{10} = 7 + 1.5*2.449 - 0.5*3.1622 = 7 + 3.6735 - 1.5811 = 9.0924$

3. 最終的な答え

$7 + \frac{3}{2}\sqrt{6} - \frac{\sqrt{10}}{2}$