$x, y$ が以下の3つの不等式を満たすとき、$x+y$ の最小値と最大値、および $x^2 + y^2$ の最小値と、そのときの $x, y$ の値を求める問題です。 $y \geq -\frac{5}{3}x + 5$ $y \geq 3x - 9$ $y \leq \frac{1}{5}x + 5$

1. 問題の内容

$x, y$ が以下の3つの不等式を満たすとき、$x+y$ の最小値と最大値、および $x^2 + y^2$ の最小値と、そのときの $x, y$ の値を求める問題です。

$y \geq -\frac{5}{3}x + 5$

$y \geq 3x - 9$

$y \leq \frac{1}{5}x + 5$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式で表される領域を図示します。

次に、$x+y = k$ とおいて、$y = -x + k$ と変形します。この直線が領域と共有点を持つような $k$ の最小値と最大値を求めます。直線 $y = -x + k$ を平行移動させて、領域との接点を調べます。

3つの直線の交点を求めます。

(1) $y = -\frac{5}{3}x + 5$ と $y = 3x - 9$ の交点

$-\frac{5}{3}x + 5 = 3x - 9$

$5 + 9 = 3x + \frac{5}{3}x$

$14 = \frac{14}{3}x$

$x = 3$

$y = 3(3) - 9 = 0$

交点は $(3, 0)$

(2) $y = -\frac{5}{3}x + 5$ と $y = \frac{1}{5}x + 5$ の交点

$-\frac{5}{3}x + 5 = \frac{1}{5}x + 5$

$-\frac{5}{3}x = \frac{1}{5}x$

$x = 0$

$y = 5$

交点は $(0, 5)$

(3) $y = 3x - 9$ と $y = \frac{1}{5}x + 5$ の交点

$3x - 9 = \frac{1}{5}x + 5$

$3x - \frac{1}{5}x = 5 + 9$

$\frac{14}{5}x = 14$

$x = 5$

$y = 3(5) - 9 = 6$

交点は $(5, 6)$

領域の頂点は $(0, 5), (3, 0), (5, 6)$

$x + y$ の最小値は $(3, 0)$ のとき $3 + 0 = 3$

$x + y$ の最大値は $(5, 6)$ のとき $5 + 6 = 11$

次に、$x^2 + y^2 = k$ とおきます。これは原点を中心とする半径 $\sqrt{k}$ の円を表します。この円が領域と共有点を持つような $k$ の最小値を求めます。

円が領域に接するとき、$k$ は最小となります。領域の頂点のうち、原点に最も近い点は $(3, 0)$ です。

$(3,0)$のとき、$x^2 + y^2 = 3^2 + 0^2 = 9$

3. 最終的な答え

$x+y$ の最小値: 3

$x+y$ の最大値: 11

$x^2+y^2$ の最小値: 9

そのときの $x$: 3

そのときの $y$: 0