与えられた数列の問題を解きます。具体的には、数列の一般項を求めたり、和を求めたり、群数列に関する問題に答えます。

はい、承知しました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた数列の問題を解きます。具体的には、数列の一般項を求めたり、和を求めたり、群数列に関する問題に答えます。

2. 解き方の手順

(1) {3, 5, 11, 21, 35, 53,...} の一般項を求める。

階差数列を考えると、2, 6, 10, 14, 18,... となり、これは初項 2, 公差 4 の等差数列である。

よって、階差数列の一般項は $b_n = 2 + (n-1)4 = 4n - 2$ となる。

元の数列の一般項 $a_n$ は、 $n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 2) = 3 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k - 2\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 3 + 4\frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1) = 3 + 2n^2 - 2n - 2n + 2 = 2n^2 - 4n + 5$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$ となり、これも満たす。

したがって、$a_n = 2n^2 - 4n + 5$。

(2) {1, 0, 2, -2, 6, -10,...} の一般項を求める。

階差数列を考えると、-1, 2, -4, 8, -16,... となり、これは初項 -1, 公比 -2 の等比数列である。

よって、階差数列の一般項は $b_n = (-1)(-2)^{n-1} = (-2)^{n-1} (-1)$ となる。

元の数列の一般項 $a_n$ は、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1} (-1) = 1 - \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1}$

$= 1 - \frac{1 - (-2)^{n-1}}{1 - (-2)} = 1 - \frac{1 - (-2)^{n-1}}{3} = \frac{3 - (1 - (-2)^{n-1})}{3} = \frac{2 + (-2)^{n-1}}{3}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{2 + (-2)^0}{3} = \frac{2 + 1}{3} = 1$ となり、これも満たす。

したがって、$a_n = \frac{2 + (-2)^{n-1}}{3}$。

(3) $S_n = n^2 - 3n$ のとき、$a_n$ を求める。

$a_1 = S_1 = 1^2 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 3n) - ((n-1)^2 - 3(n-1)) = n^2 - 3n - (n^2 - 2n + 1 - 3n + 3) = n^2 - 3n - n^2 + 5n - 4 = 2n - 4$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2(1) - 4 = -2$ となり、これも満たす。

したがって、$a_n = 2n - 4$。

(4) $S_n = 3^n$ のとき、$a_n$ を求める。

$a_1 = S_1 = 3^1 = 3$

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{n-1}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2 \cdot 3^0 = 2 \neq 3$ なので、これは満たさない。

よって、$a_1 = 3$ で、$n \geq 2$ のとき、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$。

まとめて書くと、$a_1 = 3, a_n = 2 \cdot 3^{n-1} (n \geq 2)$。

(5) $S_n = \sum_{k=1}^n k \cdot \frac{1}{2^k}$ を求める。

$S_n = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n}$

$\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \cdots + \frac{n-1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}}$

$S_n - \frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$= \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{n}{2^{n+1}} = 1 - \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}} = \frac{2^{n+1} - 2 - n}{2^{n+1}}$

$S_n = \frac{2^{n+1} - 2 - n}{2^n}$

(6) $S_n = \sum_{k=1}^n (2k - 1) \cdot 3^{k-1}$ を求める。

$S_n = 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n - 1) \cdot 3^{n-1}$

$3S_n = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + (2n - 3) \cdot 3^{n-1} + (2n - 1) \cdot 3^n$

$S_n - 3S_n = -2S_n = 1 + 2(3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}) - (2n - 1) \cdot 3^n$

$= 1 + 2\frac{3(1 - 3^{n-1})}{1 - 3} - (2n - 1) \cdot 3^n = 1 - 3(1 - 3^{n-1}) - (2n - 1) \cdot 3^n$

$= 1 - 3 + 3^n - (2n - 1) \cdot 3^n = -2 - (2n - 2) \cdot 3^n = -2(1 + (n-1)3^n)$

$S_n = (n-1)3^n + 1$

(7) 先頭から数えて100番目に現れる分数は何か。

第k群にはk個の項がある。

第n群までの項数の合計は $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$。

$\frac{n(n+1)}{2} < 100$ を満たす最大のnを求める。

$n(n+1) < 200$ で、$n = 13$ のとき $13(14) = 182 < 200$, $n = 14$ のとき $14(15) = 210 > 200$。

よって、第13群までには182項あるので、100番目の項は第13群にある。

100番目の項は、第13群の100 - 182/2 = 100 - 91 = 9番目の項である。

第13群の9番目の項は $\frac{9}{13}$ である。

(8) 先頭から100番目までの総和を求めよ。

第13群までの総和は

$\sum_{k=1}^{13} \sum_{i=1}^k \frac{i}{k} = \sum_{k=1}^{13} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k i = \sum_{k=1}^{13} \frac{1}{k} \cdot \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^{13} \frac{k+1}{2} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{13} (k+1)$

$= \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{13} k + \sum_{k=1}^{13} 1) = \frac{1}{2} (\frac{13(14)}{2} + 13) = \frac{1}{2}(91 + 13) = \frac{104}{2} = 52$

残りの項は第14群の1番目から9番目までの項である。

$\sum_{i=1}^9 \frac{i}{14} = \frac{1}{14} \sum_{i=1}^9 i = \frac{1}{14} \frac{9(10)}{2} = \frac{45}{14}$

よって、先頭から100番目までの総和は $52 + \frac{45}{14} = \frac{52 \times 14 + 45}{14} = \frac{728 + 45}{14} = \frac{773}{14}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n^2 - 4n + 5$

(2) $a_n = \frac{2 + (-2)^{n-1}}{3}$

(3) $a_n = 2n - 4$

(4) $a_1 = 3, a_n = 2 \cdot 3^{n-1} (n \geq 2)$

(5) $S_n = \frac{2^{n+1} - 2 - n}{2^n}$

(6) $S_n = (n-1)3^n + 1$

(7) $\frac{9}{13}$

(8) $\frac{773}{14}$