等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_3=12$, $a_5+a_8=52$ を満たす。また、等差数列 $\{b_n\}$ があり、初項から第6項までの和が132、第7項から第12項までの和が276である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表す。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表す。 (3) $c_n = \frac{a_n}{b_n}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義される数列 $\{c_n\}$ がある。数列 $\{c_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの積を $T_n$ とする。このとき、$T_{99}$ を求めよ。また、$\prod_{k=1}^{99} T_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_3=12$, $a_5+a_8=52$ を満たす。また、等差数列 $\{b_n\}$ があり、初項から第6項までの和が132、第7項から第12項までの和が276である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表す。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表す。

(3) $c_n = \frac{a_n}{b_n}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義される数列 $\{c_n\}$ がある。数列 $\{c_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの積を $T_n$ とする。このとき、$T_{99}$ を求めよ。また、$\prod_{k=1}^{99} T_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$, 公差を $d$ とすると、

$a_3 = a + 2d = 12$

$a_5 + a_8 = (a + 4d) + (a + 7d) = 2a + 11d = 52$

この連立方程式を解くと、

$2(12 - 2d) + 11d = 52$

$24 - 4d + 11d = 52$

$7d = 28$

$d = 4$

$a = 12 - 2d = 12 - 8 = 4$

よって、$a_n = a + (n-1)d = 4 + (n-1)4 = 4 + 4n - 4 = 4n$

(2) 等差数列 $\{b_n\}$ の初項を $b$, 公差を $e$ とすると、初項から第6項までの和は

$\frac{6}{2}(2b + (6-1)e) = 3(2b + 5e) = 6b + 15e = 132$

第7項から第12項までの和は

$\frac{6}{2}(2(b+6e) + (6-1)e) = 3(2b + 12e + 5e) = 3(2b + 17e) = 6b + 51e = 276$

この連立方程式を解くと、

$(6b + 51e) - (6b + 15e) = 276 - 132$

$36e = 144$

$e = 4$

$6b + 15(4) = 132$

$6b + 60 = 132$

$6b = 72$

$b = 12$

よって、$b_n = b + (n-1)e = 12 + (n-1)4 = 12 + 4n - 4 = 4n + 8$

(3) $c_n = \frac{a_n}{b_n} = \frac{4n}{4n+8} = \frac{n}{n+2}$

$T_n = \prod_{k=1}^{n} c_k = \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{6} \cdot \dots \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n+1} \cdot \frac{n}{n+2} = \frac{1 \cdot 2}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{(n+1)(n+2)}$

$T_{99} = \frac{2}{(99+1)(99+2)} = \frac{2}{100 \cdot 101} = \frac{2}{10100} = \frac{1}{5050}$

$\prod_{k=1}^{99} T_k = \prod_{k=1}^{99} \frac{2}{(k+1)(k+2)} = 2^{99} \prod_{k=1}^{99} \frac{1}{(k+1)(k+2)} = 2^{99} \prod_{k=1}^{99} (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}) = 2^{99} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) \dots (\frac{1}{100} - \frac{1}{101}) = \frac{2}{100 \cdot 101} \cdot (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2})= \frac{1}{5050}$.

しかし、$\prod_{k=1}^{99} T_k$ を求めるのは、問題文の意図と違うようです。

$T_k = \frac{2}{(k+1)(k+2)}$より、

$\prod_{k=1}^{99} T_k = \prod_{k=1}^{99} \frac{2}{(k+1)(k+2)} = 2^{99} \prod_{k=1}^{99} \frac{1}{(k+1)(k+2)} = 2^{99} \prod_{k=1}^{99} (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}) = 2^{99}(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) \cdots (\frac{1}{100}-\frac{1}{101})$

$=\prod_{k=1}^{99} \frac{2}{(k+1)(k+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4n$

(2) $b_n = 4n + 8$

(3) $T_{99} = \frac{1}{5050}$

$\prod_{k=1}^{99} T_k = \prod_{k=1}^{99} \frac{2}{(k+1)(k+2)}$