$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x+y$ と $xy$ を計算します。

$x + y = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2}$

$xy = (\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$

次に、$x^2 + xy + y^2$ を変形します。

$x^2 + xy + y^2 = (x + y)^2 - xy$

得られた $x+y$ と $xy$ の値を代入して計算します。

$(x + y)^2 - xy = (2\sqrt{2})^2 - (-1) = 4 \cdot 2 + 1 = 8 + 1 = 9$

3. 最終的な答え

$x^2 + xy + y^2 = 9$