関数 $f(x) = -\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{x^2-4x+4}$ について以下の問題を解きます。 (1) $f(1)$ の値を求める。 (2) $0 \le x \le 2$ のとき、$f(x)$ の式を簡単にし、$f(x) \le x-2$ を解く。 (3) $|x| \le 5$ のとき、$f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。このとき、$M+m$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{x^2-4x+4}$ について以下の問題を解きます。

(1) $f(1)$ の値を求める。

(2) $0 \le x \le 2$ のとき、$f(x)$ の式を簡単にし、$f(x) \le x-2$ を解く。

(3) $|x| \le 5$ のとき、$f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。このとき、$M+m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(1)$ を求める。

関数 $f(x)$ に $x=1$ を代入します。

$f(1) = -\sqrt{1^2+4\cdot1+4} + \sqrt{1^2-4\cdot1+4}$

$f(1) = -\sqrt{1+4+4} + \sqrt{1-4+4}$

$f(1) = -\sqrt{9} + \sqrt{1}$

$f(1) = -3 + 1$

$f(1) = -2$

(2) $0 \le x \le 2$ のとき、$f(x)$ の式を簡単にし、$f(x) \le x-2$ を解く。

$x^2+4x+4 = (x+2)^2$, $x^2-4x+4 = (x-2)^2$ であるから、

$f(x) = -\sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x-2)^2}$

$f(x) = -|x+2| + |x-2|$

$0 \le x \le 2$ のとき、$x+2 \ge 0$ より $|x+2| = x+2$, $x-2 \le 0$ より $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ となるので、

$f(x) = -(x+2) + (2-x)$

$f(x) = -x-2+2-x$

$f(x) = -2x$

$f(x) \le x-2$ を解くと、

$-2x \le x-2$

$2 \le 3x$

$x \ge \frac{2}{3}$

$0 \le x \le 2$ であるから、$\frac{2}{3} \le x \le 2$

(3) $|x| \le 5$ のとき、$f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。このとき、$M+m$ の値を求める。

$f(x) = -|x+2| + |x-2|$

$|x| \le 5$ より、$-5 \le x \le 5$

場合分けします。

i) $-5 \le x \le -2$ のとき、$x+2 \le 0$, $x-2 < 0$ より

$f(x) = -( -(x+2) ) + (-(x-2))$

$f(x) = x+2 -x + 2 = 4$

ii) $-2 < x < 2$ のとき、$x+2 > 0$, $x-2 < 0$ より

$f(x) = -(x+2) + (-(x-2))$

$f(x) = -x-2 -x+2 = -2x$

$-2 < x < 2$ なので、$-4 < f(x) < 4$

iii) $2 \le x \le 5$ のとき、$x+2 > 0$, $x-2 \ge 0$ より

$f(x) = -(x+2) + (x-2)$

$f(x) = -x-2 + x-2 = -4$

したがって、$f(x)$ は

$-5 \le x \le -2$ で $f(x) = 4$

$-2 < x < 2$ で $f(x) = -2x$

$2 \le x \le 5$ で $f(x) = -4$

となる。

$-2 \le x \le 2$ において、$-2x$ は $x=-2$ のとき最大値 4, $x=2$ のとき最小値 -4 をとる。

したがって、$f(x)$ の最大値は $M = 4$, 最小値は $m = -4$

$M+m = 4+(-4) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $f(1) = -2$

(2) $f(x) = -2x$, $\frac{2}{3} \le x \le 2$

(3) $M+m = 0$