与えられた行列 $A, B, C, D, E$ に対して、行列の積 $BA, AB, CE, DB$ が定義できるかどうかを判定し、定義できる場合はその積を計算し、定義できない場合は「定義できない」と答えます。また、連立一次方程式を拡大係数行列の行基本変形によって解きます。さらに、与えられた行列の正則性を判定し、正則なら逆行列を、正則でないなら階数を求めます。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A, B, C, D, E$ に対して、行列の積 $BA, AB, CE, DB$ が定義できるかどうかを判定し、定義できる場合はその積を計算し、定義できない場合は「定義できない」と答えます。また、連立一次方程式を拡大係数行列の行基本変形によって解きます。さらに、与えられた行列の正則性を判定し、正則なら逆行列を、正則でないなら階数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列の積の計算

行列の積 $XY$ が定義できるのは、$X$ の列数と $Y$ の行数が等しいときです。定義できる場合は、それぞれの成分を計算します。

(a) $BA$: $B$ は $2 \times 3$ 行列、$A$ は $2 \times 2$ 行列なので、$BA$ は定義できません。

(b) $AB$: $A$ は $2 \times 2$ 行列、$B$ は $2 \times 3$ 行列なので、$AB$ は定義でき、$2 \times 3$ 行列になります。

$AB = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 9 & -4 \\ -1 & -17 & 12 \end{pmatrix}$

(c) $CE$: $C$ は $3 \times 2$ 行列、$E$ は $2 \times 1$ 行列なので、$CE$ は定義でき、$3 \times 1$ 行列になります。

$CE = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 0 \\ -1 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 16 \end{pmatrix}$

(d) $DB$: $D$ は $1 \times 2$ 行列、$B$ は $2 \times 3$ 行列なので、$DB$ は定義でき、$1 \times 3$ 行列になります。

$DB = \begin{pmatrix} 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

(2) 連立一次方程式を解く

与えられた連立一次方程式

$\begin{cases} x+y+z=2 \\ 3x+y+9z=8 \\ 2x+3y-z=3 \end{cases}$

の拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 9 & 8 \\ 2 & 3 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

です。この行列を行基本変形して被約階段行列に変形します。

まず、2行目から1行目の3倍を、3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

次に、2行目を-2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

次に、1行目から2行目を引き、3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、解は $x = 3 - 4z$, $y = -1 + 3z$ (zは任意)

(3) 行列の正則性判定と逆行列または階数の計算

(a) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(4\cdot6 - 5\cdot5) - 2(2\cdot6 - 5\cdot3) + 3(2\cdot5 - 4\cdot3) = (24 - 25) - 2(12 - 15) + 3(10 - 12) = -1 + 6 - 6 = -1 \neq 0$

$A$ は正則なので、逆行列を求めます。余因子行列を計算します。

$C = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

(b) $B = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\det(B) = 0(1\cdot1 - (-2)\cdot1) - (-2)(1\cdot1 - (-2)\cdot(-2)) + 2(1\cdot1 - 1\cdot(-2)) = 0 + 2(1 - 4) + 2(1 + 2) = -6 + 6 = 0$

$B$ は正則ではないので、階数を求めます。

$\begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

階数は2です。

3. 最終的な答え

(1) $BA$: 定義できない

(2) $AB = \begin{pmatrix} -3 & 9 & -4 \\ -1 & -17 & 12 \end{pmatrix}$

(3) $CE = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 16 \end{pmatrix}$

(4) $DB = \begin{pmatrix} -3 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

連立一次方程式の解: $x = 3 - 4z$, $y = -1 + 3z$ (zは任意)

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) 階数 = 2