関数 $f(x) = -\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{x^2} + \sqrt{x^2-4x+4}$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(1)$ を求めよ。 (2) $0 \le x \le 2$ のとき、$f(x)$ の式を簡単にせよ。また、$f(x) \le x-2$ を解け。 (3) $|x| \le 5$ のとき、$f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。このとき、$M+m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{x^2} + \sqrt{x^2-4x+4}$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(1)$ を求めよ。

(2) $0 \le x \le 2$ のとき、$f(x)$ の式を簡単にせよ。また、$f(x) \le x-2$ を解け。

(3) $|x| \le 5$ のとき、$f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。このとき、$M+m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(1)$ を求める。

$f(x) = -\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{x^2} + \sqrt{x^2-4x+4}$ に $x=1$ を代入する。

$f(1) = -\sqrt{1^2+4(1)+4} + \sqrt{1^2} + \sqrt{1^2-4(1)+4} = -\sqrt{9} + \sqrt{1} + \sqrt{1} = -3 + 1 + 1 = -1$

(2) $0 \le x \le 2$ のとき、$f(x)$ の式を簡単にする。

$f(x) = -\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{x^2} + \sqrt{x^2-4x+4} = -\sqrt{(x+2)^2} + |x| + \sqrt{(x-2)^2} = -|x+2| + |x| + |x-2|$

$0 \le x \le 2$ のとき、$x+2 > 0$ なので $|x+2| = x+2$、$x \ge 0$ なので $|x| = x$、$x-2 \le 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = 2-x$

$f(x) = -(x+2) + x + (2-x) = -x-2+x+2-x = -x$

$f(x) \le x-2$ を解く。

$-x \le x-2$

$2 \le 2x$

$1 \le x$

$0 \le x \le 2$ の条件があるので、$1 \le x \le 2$

(3) $|x| \le 5$ のとき、$f(x)$ の最大値 $M$、最小値 $m$ を求める。

$|x| \le 5$ より、$-5 \le x \le 5$

$f(x) = -|x+2| + |x| + |x-2|$

$x < -2$ のとき、$f(x) = -( -(x+2)) + (-x) + -(x-2) = x+2 - x - x + 2 = -x+4$

$-2 \le x \le 0$ のとき、$f(x) = -(x+2) + (-x) + -(x-2) = -x-2-x-x+2 = -3x$

$0 \le x \le 2$ のとき、$f(x) = -(x+2) + x + -(x-2) = -x-2+x-x+2 = -x$

$x > 2$ のとき、$f(x) = -(x+2) + x + (x-2) = -x-2+x+x-2 = x-4$

$x < -2$ のとき、$f(x) = -x+4$ は単調減少。

$-5 \le x < -2$ より、$f(-5) = -(-5)+4 = 9$, $f(-2) = -(-2)+4 = 6$

$-2 \le x \le 0$ のとき、$f(x) = -3x$ は単調減少。

$f(-2) = -3(-2) = 6$, $f(0) = -3(0) = 0$

$0 \le x \le 2$ のとき、$f(x) = -x$ は単調減少。

$f(0) = -0 = 0$, $f(2) = -2$

$x > 2$ のとき、$f(x) = x-4$ は単調増加。

$2 < x \le 5$ より、$f(2) = 2-4 = -2$, $f(5) = 5-4 = 1$

最大値 $M = 9$ ($x=-5$ のとき)

最小値 $m = -2$ ($x=2$ のとき)

$M+m = 9 + (-2) = 7$

3. 最終的な答え

(1) $f(1) = -1$

(2) $f(x) = -x$, $1 \le x \le 2$

(3) $M+m = 7$