関数 $f(x) = -\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{x^2-4x+4}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(1)$ を求めます。 (2) $0 \leq x \leq 2$ のとき、$f(x)$ の式を簡単にし、$f(x) \leq x-2$ を解きます。 (3) $|x| \leq 5$ のとき、$f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。このとき、$M+m$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\sqrt{x^2+4x+4} + \sqrt{x^2-4x+4}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(1)$ を求めます。

(2) $0 \leq x \leq 2$ のとき、$f(x)$ の式を簡単にし、$f(x) \leq x-2$ を解きます。

(3) $|x| \leq 5$ のとき、$f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。このとき、$M+m$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ に $x=1$ を代入します。

$f(1) = -\sqrt{1^2+4(1)+4} + \sqrt{1^2-4(1)+4} = -\sqrt{9} + \sqrt{1} = -3 + 1 = -2$

(2)

まず、$f(x)$ を簡単にします。

$f(x) = -\sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x-2)^2}$

$0 \leq x \leq 2$ のとき、$x+2 > 0$ かつ $x-2 \leq 0$ なので、

$f(x) = -(x+2) + |x-2| = -(x+2) + (2-x) = -x-2+2-x = -2x$

次に、$f(x) \leq x-2$ を解きます。

$-2x \leq x-2$

$2 \leq 3x$

$x \geq \frac{2}{3}$

したがって、$0 \leq x \leq 2$ の範囲で考えると、$\frac{2}{3} \leq x \leq 2$

(3)

$|x| \leq 5$ つまり $-5 \leq x \leq 5$ のとき、$f(x) = -\sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x-2)^2} = -|x+2| + |x-2|$

$x$ の範囲によって場合分けして考えます。

(i) $-5 \leq x \leq -2$ のとき、$x+2 \leq 0$, $x-2 < 0$ なので、

$f(x) = -(-(x+2)) + (2-x) = x+2+2-x = 4$

(ii) $-2 < x < 2$ のとき、$x+2 > 0$, $x-2 < 0$ なので、

$f(x) = -(x+2) + (2-x) = -x-2+2-x = -2x$

この区間では、$-2 < x < 2$ より $-4 < -2x < 4$ なので、$-4 < f(x) < 4$

(iii) $2 \leq x \leq 5$ のとき、$x+2 > 0$, $x-2 \geq 0$ なので、

$f(x) = -(x+2) + (x-2) = -x-2+x-2 = -4$

したがって、$f(x)$ は $-5 \leq x \leq -2$ で $f(x) = 4$, $-2 < x < 2$ で $-4 < f(x) < 4$, $2 \leq x \leq 5$ で $f(x) = -4$ となります。

$f(x)$ の最大値 $M$ は $4$ ($x=-5 \leq x \leq -2$)

$f(x)$ の最小値 $m$ は $-4$ ($2 \leq x \leq 5$)

$M + m = 4 + (-4) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $f(1) = -2$

(2) $f(x) = -2x$, $\frac{2}{3} \leq x \leq 2$

(3) $M+m = 0$