$a$と$b$は整数である。$(a-2\sqrt{2})(4+3\sqrt{2}) = \sqrt{2}b$を満たす$a$と$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$と$b$は整数である。$(a-2\sqrt{2})(4+3\sqrt{2}) = \sqrt{2}b$を満たす$a$と$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開する。

$(a-2\sqrt{2})(4+3\sqrt{2}) = 4a + 3a\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 6(\sqrt{2})^2 = 4a + 3a\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 12$

$= (4a - 12) + (3a - 8)\sqrt{2}$

したがって、

$(4a - 12) + (3a - 8)\sqrt{2} = \sqrt{2}b$

この式が成り立つためには、$4a - 12 = 0$かつ$3a - 8 = b$でなければならない。

$4a - 12 = 0$より、$4a = 12$となり、$a = 3$である。

これを$3a - 8 = b$に代入すると、$3(3) - 8 = b$より、$9 - 8 = b$となり、$b = 1$である。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 1$