与えられた4つの二次関数について、最大値または最小値が存在する場合は、その値を求めよ。 (1) $y = 2x^2 - 8x + 9$ (2) $y = -4x^2 + 4x - 2$ (3) $y = 3x^2 + 18x + 25$ (4) $y = -3x^2 - 4x - 1$

はい、承知いたしました。問題文をOCRで読み取りました。

1. 問題の内容

与えられた4つの二次関数について、最大値または最小値が存在する場合は、その値を求めよ。

(1) $y = 2x^2 - 8x + 9$

(2) $y = -4x^2 + 4x - 2$

(3) $y = 3x^2 + 18x + 25$

(4) $y = -3x^2 - 4x - 1$

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成し、頂点の座標を求める。

$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形する。

$a > 0$ ならば、下に凸な放物線となり、最小値 $q$ を持つ。最大値は存在しない。

$a < 0$ ならば、上に凸な放物線となり、最大値 $q$ を持つ。最小値は存在しない。

頂点のx座標は$x=p$で与えられる。

(1) $y = 2x^2 - 8x + 9$

$y = 2(x^2 - 4x) + 9$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9$

$y = 2((x - 2)^2 - 4) + 9$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 9$

$y = 2(x - 2)^2 + 1$

$a = 2 > 0$なので、最小値を持つ。

最小値は$1$ ($x = 2$のとき)。

最大値は存在しない。

(2) $y = -4x^2 + 4x - 2$

$y = -4(x^2 - x) - 2$

$y = -4(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 2$

$y = -4((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 2$

$y = -4(x - \frac{1}{2})^2 + 1 - 2$

$y = -4(x - \frac{1}{2})^2 - 1$

$a = -4 < 0$なので、最大値を持つ。

最大値は$-1$ ($x = \frac{1}{2}$のとき)。

最小値は存在しない。

(3) $y = 3x^2 + 18x + 25$

$y = 3(x^2 + 6x) + 25$

$y = 3(x^2 + 6x + 9 - 9) + 25$

$y = 3((x + 3)^2 - 9) + 25$

$y = 3(x + 3)^2 - 27 + 25$

$y = 3(x + 3)^2 - 2$

$a = 3 > 0$なので、最小値を持つ。

最小値は$-2$ ($x = -3$のとき)。

最大値は存在しない。

(4) $y = -3x^2 - 4x - 1$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) - 1$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) - 1$

$y = -3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) - 1$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{3}$

$a = -3 < 0$なので、最大値を持つ。

最大値は$\frac{1}{3}$ ($x = -\frac{2}{3}$のとき)。

最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 1, 最大値: なし

(2) 最大値: -1, 最小値: なし

(3) 最小値: -2, 最大値: なし

(4) 最大値: 1/3, 最小値: なし