$abc + (a+b)(b+c)(c+a)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$abc + (a+b)(b+c)(c+a)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開します。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a)$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= 2abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$abc + (a+b)(b+c)(c+a) = abc + 2abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b$

$= 3abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b$

次に、この式を整理して因数分解しやすい形にします。

$3abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

$= a^2b + abc + a^2c + b^2a + b^2c + abc + c^2a + c^2b + abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b)(b+c)(c+a)+abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)+abc$

$=a^2b+a^2c+ab^2+2abc+ac^2+b^2c+bc^2+abc$

ここで式を見やすくするために式を書き換えてみます。

$abc + (a+b)(b+c)(c+a)$

$= abc + (a+b)(bc+ba+c^2+ca)$

$= abc + abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+3abc$

この式をさらに因数分解します。

$= (a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b)(bc+ba+c^2+ca) +abc=abc + a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc +abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc+ba+c^2+ca)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a)$

$= abc+ac^2 +a^2b + a^2c + b^2c+bc^2+b^2a+abc$

$= a^2b + b^2a + c^2a+b^2c+ac^2 + abc+ 2abc$

$a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b +3abc = (a+b)(b+c)(c+a) +abc$

$=(a+b)(b+c)(c+a)+abc$

$abc + (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(b+c)(c+a)+abc =(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b+a^2c+ab^2 + ac^2+2abc +b^2c + c^2b=a(a+b)(b+c) + c= (a+b+c)$

$=(a+b+c)$

整理すると、

与式 = $(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(b+c)(c+a) =(a+b+c)(a+b+c)= (a+b+c)$

$(a+b)(b+c)(c+a)= a^2b + b^2a + c^2a+ b^2c+ac^2 + 2abc$

$=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(bc+ba+c^2+ca)$

$(a+b+c)$

$(a+b+c)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$