(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。 (2) ある放物線を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したら、放物線 $y = 2x^2 + 8x + 5$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

(2) ある放物線を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したら、放物線 $y = 2x^2 + 8x + 5$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を原点に関して対称移動する。原点対称移動は $x$ を $-x$ に, $y$ を $-y$ に置き換えることで行われる。したがって、

$-y = (-x)^2 - 2(-x) + 2$

$-y = x^2 + 2x + 2$

$y = -x^2 - 2x - 2$

次に、この放物線を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動する。$x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動するには $x$ を $x - 1$ に, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動するには $y$ を $y + 2$ に置き換える。したがって、

$y + 2 = -(x - 1)^2 - 2(x - 1) - 2$

$y + 2 = -(x^2 - 2x + 1) - 2x + 2 - 2$

$y + 2 = -x^2 + 2x - 1 - 2x$

$y + 2 = -x^2 - 1$

$y = -x^2 - 3$

(2)

求める放物線を $y = ax^2 + bx + c$ とする。

まず、原点に関して対称移動すると、

$-y = a(-x)^2 + b(-x) + c$

$-y = ax^2 - bx + c$

$y = -ax^2 + bx - c$

次に、$x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動すると、

$y - 2 = -a(x + 3)^2 + b(x + 3) - c$

$y - 2 = -a(x^2 + 6x + 9) + bx + 3b - c$

$y - 2 = -ax^2 - 6ax - 9a + bx + 3b - c$

$y = -ax^2 + (-6a + b)x - 9a + 3b - c + 2$

この放物線が $y = 2x^2 + 8x + 5$ に一致するので、係数を比較すると、

$-a = 2$

$-6a + b = 8$

$-9a + 3b - c + 2 = 5$

したがって、

$a = -2$

$-6(-2) + b = 8$ より、 $12 + b = 8$ なので、$b = -4$

$-9(-2) + 3(-4) - c + 2 = 5$ より、$18 - 12 - c + 2 = 5$ なので、$8 - c = 5$ であり、$c = 3$

よって、元の放物線の方程式は $y = -2x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 - 3$

(2) $y = -2x^2 - 4x + 3$